6. ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы мог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи.

У. У. Сойер

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решит одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные хадачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У. У. Сойер

Надо « … добиться того, чтобы ученик самостоятельно нашел решение задачи нового, хотя бы и очень простого типа»

А.Я. Хинчин

ПЛАН ТЕМЫ

6. 1. Роль задач в обучении математике
6. 2. Классификация задач
6. 3. Виды задач и их функции
6. 4. Основные компоненты задачи
6. 5. Этапы решения задачи
6. 6. Организация обучения решению математических задач
6. 7. Индивидуальное решение задач
Вопросы для самопроверки
Литература

 

к плану

6. 1. РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

При обучении математике задачи играют большое значение. Велика роль задач в развитии логического мышления учащихся, формирования практических навыков применения математики, формирования диалектико-материалистического мировоззрения. При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение: образовательное, практическое, воспитательное. Они являются основным средством развития пространственного воображения, алгоритмического мышления, эвристического и творческого начала.

Задачи играют большую роль в изучении теоретических знаний. Задачи способствуют мотивации введения понятия, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи понятия с другими понятиями.

Задачи, используемые в процессе изучения теоремы, выполняют следующие функции: способствуют мотивации введения теоремы; выявляют закономерности, отраженные в теореме; способст­вуют усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскры­вать приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Задачи являются основным средством развития пространственного мышления, творческой деятельности школьников.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше задачи формулировались с использованием слов: «найти», «построить», «вычислить», «доказать». В современной школе задачи формулируются: «обосновать», «вы­брать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследо­вать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Решение задач является наиболее эффек­тивной формой развития математической деятельности. Деятель­ность по решению задач достаточно сложна для ученика. Она включает в себя ряд действий учебного характера, которыми каждый ученик должен владеть.

 

к плану

6. 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ

Проблеме классификации задач в современной методической и психологической литературе посвящено немало работ.

По характеру требования:
- задачи на доказательство;
- задачи на построение;
- задачи на вычисление.

По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин):
- задачи с дидактическими функциями;
- задачи с познавательными функциями;
- задачи с развивающими функциями.

По величине пробемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин):
- стандартные (известны все компоненты задачи);
- обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи);
- поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи);
- проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).

При условии, какие компонентах задачи ( А - условие, В - заключение , К - реше­ние , С - базис решения задачи) неизвестны решающему, получа­ется следующая типология:

I тип - известны все компоненты (АСКВ)

II тип - неизвестен один компонент:

а) …СКВ; б) А …В; в) АС…В; г) АСК….

III тип - неизвестны два компонента:

а) А……В; б) …СК… и т. д.

IV тип — неизвестны три компонента:

а) … … … В; б) А… … …; в) …С… …; т) … … К….

По методам решения задач:
задачи на геометрические преобразования,
задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
простые;
сложные.

По компонентам учебной деятельности:
организационно-действенные;
стимулирующие;
контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

 

к плану

6. 3. ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ

Задачи являются основным средством, которое используется при обучении математике для формирования знаний, умений и навыков учащихся. Посредством решения задач реализуются все цели обучения математике: образовательные, развивающие, воспитательные. По своему функциональному назначению задачи, как средство обучения, могут быть или направлены на формирование знаний, умений и навыков учащихся ( обучающие задачи ) или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков ( контролирующие задачи ) (рис. 19).

Рис. 19. Классификация задач по функциональному назначению

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В системе задач, связанных с усвоением понятия и его определений, выделяются следующие задачи:

1. Задачи, связанные с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики.
2. Задачи на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия.
3. Задачи на выделение существенных признаков понятия.
4. Задачи на распознавание формулируемого понятия.
5. Задачи на усвоение текста определения понятия.
6. Задачи на использование математической символики.
7. Задачи на установление свойств понятия.
8. Задачи на применение понятия.
9. Задачи на усвоение математических понятий.
10. Задачи на овладение математической символикой.

 

 

к плану

6. 4. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ

В задаче выделяются следующие основные компоненты:

а) условие задачи - начальное состояние;
б) заключение задачи - конечное состояние;
в) решение - преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
г) базис решения - теоретическое обоснование решения.

Математическими задачами считаются все задачи, в которых переход от состояния (а) к состоянию (б) осуществляется математическими средствами, т. е. математическим характером компонентов (в) и (г) .

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) - математические объекты, то задача называется чисто математической ; если математическими являются только компоненты (решение) и (базис решения), то задача называется прикладной математической задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов можно построить дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Будем считать, что проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из ее основных компонентов (условие, заключение, решение, обоснование) неизвестны школьнику в момент предъявления ему данной задачи.

Стандартной называется такая задача, в которой четко определено условие, известен способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного.

Задача называется обучающей , если в ней неизвестен или плохо определен один из вышеуказанных основных компонентов. Если неизвестны какие-либо два компонента, задачу назовем поисковой , а если три - проблемной .

Часто в литературе встречается деление задач на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование и изучается каждый вид. Однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление, построение приходится много доказывать, а в задачах на построение, доказательство приходится много исследовать и т.д. Поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.

Интересна классификация задач (А.Я. Цукарь), учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:

- алгоритмические задачи;
- полуалгоритмические задачи;
- эвристические задачи.

Алгоритмические задачи - задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, для решения которых имеется алгоритм. Например, такой задачей являются задачи нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Роль алгоритмических задач в обучении математике велика. Решение задач по алгоритму быстро и легко приводит к желаемому результату. Ученики, хорошо усвоившие необходимые алгоритмы решения задач, могут оперироватьь свернутыми знаниями при решении других сложных задач, им не нужно будет прилагать усилия на поиск решения частичных проблем, которые решаются по алгоритму.

Полуалгоритмические задачи - задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов, связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найдите периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится сворачивать знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он учится применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи - задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Найдите расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.

 

к плану

6. 5. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

I. Ознакомление с содержанием задачи.

На первом этапе процесса решения задачи имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в сложной системе памяти, соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.

II. Поиск решения - выдвижение плана решения задачи.

На втором этапе происходят целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных), выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивных соображений, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.

III. Процесс решения - реализация плана решения.

На третьем этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.

IV. Проверка решения задачи.

На четвертом этапе фиксируется конечный результат решения, проводится критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.

Сюжетной задачей называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны главным образом для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые задачи на составление уровнения. При решении текстовой задачи с помощью составления урав­нения необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) вычленить условие и требование задачи;
2) установить зависимость между данными и ис­комыми;
3) выявить способ составления уравнения и т. д.

Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются следующие:

1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;
2) моделирование выделенно­го отношения в предметной, графической или буквенной форме;
3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;
4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Решение задач в V - VI классах осуществляется в основном тремя способами:

- арифметическим , при котором все логические операции при решении задачи проводятся над конкретными числами, и основой рассуждения является знание смысла арифметических действий;

- алгебраическим , при котором составляется уравнение (система уравнений), решение которого основано на свойствах уравнений;

- комбинированным , который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

 

к плану

6. 6. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задачи на уроках математики решаются в основном фронтальным образом. Фронтальное решение задач - решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

а) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в среднем звене общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Это может выглядеть в форме “пятиминутки” устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использовать таблички, кодоскоп и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок математики.

б) Письменное решение задач с записью на классной доске , причем практикуются решение самим учителем или учащимися. Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках применяют:
- при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами;
- при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса;
- при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения;
- при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т.д.

в) Письменное самостоятельное решение задач - наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различны.

г) Комментирование решения математических задач : все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения.

 

к плану

6. 7. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

При решении задач необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, читывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности получили бы дальнейшее развитие. Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач.

Исключительное значение имеют самостоятельные работы учащихся по устранению пробелов в знаниях. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, при решении задач на уроке или дома. Положительные результаты по устранению пробелов в знаниях дают работы над ошибками, коррекционные самостоятельные уроки.

Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Домашнее задание имеет целью не только повторение, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Необходимо учитывать различие индивидуальных особенностей школьников и индивидуализировать домашние задания. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся к математике и развить их. Часто в качестве индивидуального домашнего задания могут выступать реферативные доклады, сообщения, анализ статей и публикаций математического характера, практические задания и др.

 

к плану

? Вопросы для самопроверки

1. Какова роль задач в обучении математике? Какие функции выполняют задачи в процессе обучения школьников математике?
2. Объясните смысл принципа “обучение через задачи”.
3. Охарактеризуйте виды задач и опишите их. Приведите примеры задач разных видов.
4. Назовите и охарактеризуйте основные компоненты задачи. Произведите разбор какой-либо задачи покомпонентно.
5. Раскройте содержание этапов решения задач:
   - анализ условия задачи;
   - поиск способа решения задачи;
   - реализация способа решения задачи;
   - оценка различных способов решения задачи;
   - использование задачи и ее решения для составления новых
   - задач.
   Выберите любую задачу и разработайте поэтапную методику ее решения.
6. Как организовать работу учителя по формированию у школьников умения решать математические задачи?
7. Как «индивидуализировать процесс рещения задачи»?

 

к плану

Литература

1. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990.
2. Болтянский В.Г. Анализ - поиск решения задачи // Математика в школе. - 1974. - № 7.
3. Возняк Г.М. Прикладные задачи в мотивации обучения // Математика в школе. - 1990. - № 2.
4. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. Для учащихся. - М.: Просвещение, 1996.
5. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. – Воронеж: Изд-во Воронеж. Ун-та, 1976.
6. Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться мате­матике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1990.
7. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I, П. - М.: Просвещение, 1977.
8. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII - VIII классов. - М.: Просвещение, 1980.
9. Корчевский В.Е., Салимжанов Р.М. Приемы составления тестовых заданий // Математика в школе. - 1995. - № 2.
10. Кострикина Н.П. Как учить школьников IV - V классов решать задачи // Математика в школе. - 1987. - № 1.
11. Кожухов С.К. Составление задач школьниками // Математика в школе. - 1995. - № 2.
12. Куликов Ю.М. Вариации на тему учебной задачи // Математика в школе. - 1994. - № 2.
13. Лященко Е. И., Мазаник А. А. Методика обучения математи­ке в IV-V классах. - Минск: Нар. Асвета, 1976.
14. Методика преподавания математики в средней школе: Общая ме­тодика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1980.
15. Методика преподавания математики в средней школе: Общая мето­дика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.
16. Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. - 1971. - № 3.
17. Фонин Д.С., Целищева И.И. Моделирование как основа обучения решению задач различными способами // Математика в школе. - 1994. - № 2.
18. Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач // Математика в школе. - 1991. - № 5.
19. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ учебных задач. - М.: Педагогика, 1977.
20. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвеще­ние, 1984.
21. Цукарь А.Я. О типологии задач // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985.
22. Цукарь А.Я. Схематизация и моделирование при решении текстовых задач // Математика в школе. - 1998. - № 5.
23. Чванов В.Г. Переформулировка задачи // Математика в школе. - 1987. - № 5.
24. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990.
25. Шевкин А.В. Как надо обновлять тематику школьных задач // Математика в школе. - 1995. - № 2.