§9. Внутренность множества

Определение 9.1. Точка x ₀ называется внутренней точкой множества A топологического пространства (Х, τ ), если существует окрестность U , такая, что x ₀ Î U A .

Совокупность всех внутренних точек множества A называется его внутренностью и обозначается Å или Int A . Множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

A Î τ <=> A = Int A .

Кроме того, операция перехода к внутренности множества обладает следующими свойствами:

1. Если A N, то Int A Int N (монотонность);

2. Int (Int A ) = Int A ( идемпотентность );

3. " A , N X Int ( A N ) = Int A Int N .

Примеры.

а) A = [0, 1], Int A = (0, 1).

б) В естественной топологии на числовой прямой Int Q = Ø ( Q - множество рациональных точек). Точно так же: Int ( R \ Q ) = Ø .

в) В бесконечном множестве Х, наделенном топологией Зарисского, для любого бесконечного множества A, дополнение которого конечно, Int A = A. Действительно, такое множество открыто в топологии Зарисского и, значит, совпадает со своей внутренностью. А для всякого конечного подмножества B X , Int B= Ø . (Дополнение СB такого множества открыто, значит, B - замкнуто и B не может иметь непустую внутренность: Int B B, но Int B должно быть открытым, т.е. бесконечным, и не может помещаться внутри конечного множества B).

Отметим еще два очевидных соотношения.

(9.1)

Дополнение замыкания равно внутренности дополнения.

(9.2)

Дополнение внутренности равно замыканию дополнения.