(Х, τ ), если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с А . Определение 8.1. Точка х называется точкой прикосновения множества А (Х, τ ), если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с А .
Совокупность всех точек прикосновения множества А называется замыканием множества А и обозначается .
Операция перехода от множества А к множеству называется операцией замыкания . Любая точка множества А является его точкой прикосновения, но есть точки прикосновения, которые не принадлежат множеству А .
Так, например, замыканием интервала (a , b) является отрезок [a , b], замыканием открытого шара в R n - замкнутый шар (вместе с ограничивающей его сферой). Замыкание множества Q рациональных чисел на прямой совпадает со всей числовой прямой: .
Из определения замыкания следует также, что замыкание пустого множества пусто, а замыкание всего пространства Х совпадает с Х . Операция замыкания обладает также свойствами:
1. M , " М ,
2. Если M N, то (монотонность замыкания),
3. (идемпотентность).