§7. Окрестность

Пусть в топологическом пространстве (Х, τ ) даны два множества В А (Х, τ ).

Определение 7.1. Множество А называется окрестностью множества В , если существует открытое множество U Îτ, такое, что В U А .

В частности, когда В представляет собой одну точку, отсюда получится определение окрестности точки.

Определение 7.2. Множество А называется окрестностью точки х , если существует открытое множество U Î τ, такое, что х Î U А .

Непосредственно из определения следует, что любое надмножество окрестности само является окрестностью, и что любое открытое множество служит окрестностью для каждой своей точки, ибо х Î U U , U Î τ. Пустое множество является единственным открытым множеством, которое не служит окрестностью.

Однако одноточечное множество { x 0 } уже может являться окрестностью, если оно открыто в рассматриваемой топологии. В этом случае точка x 0 называется изолированной точкой пространства. Ясно, что в пространстве с дискретной топологией все точки - изолированные и наоборот, если все точки изолированные, то это пространство является дискретным.

Определение 7.3. Точка x 0 множества М в пространстве (Х, τ ) называется изолированной точкой множества М , если существует окрестность U этой точки такая, что пересечение U М = { x 0 } состоит только из этой точки.

Например, в естественной топологии на числовой прямой каждая точка множества Z целых чисел - изолированная. А во множестве рациональных чисел Q и иррациональных I = R \ Q нет изолированных точек.

Теорема 7.1 . Множество А в топологическом пространстве (Х, τ) открыто тогда и только тогда, когда оно является окрестностью каждой своей точки.

Доказательство. I . Пусть А Î τ. Тогда " х Î А можно записать: х Î А А , что и означает, что А - окрестность точки х .

II . Пусть множество А является окрестностью каждой своей точки, т.е." х ÎА , $ U x Î τ | х Î U x A . Обозначим U = x ÎA Ux. U открыто по 2 аксиоме топологии. Докажем, что U = А . Из U x A следует U A (*). Обратно, " х Î А => х Î U x A . => х Î U => А U (**). Из (*), (**) следует: U = А . Но U открыто, значит, А открыто. Теорема доказана.

Определение 7.4. Система β xoокрестностей точки x 0 пространства Х называется фундаментальной системой окрестностей этой точки, если для каждой окрестности U этой точки существует окрестность V из β xoтакая, что V U.

Так, например:

- Система всех открытых окрестностей точки x 0 служит примером фундаментальной системы окрестностей.

- В любом метрическом пространстве совокупность открытых шаров с центром x 0 и радиусами 1/n ( n = 1,2,...) образует фундаментальную систему окрестностей точки x 0 .

- Во всяком дискретном пространстве для каждой его точки x 0 сама эта точка уже служит фундаментальной системой окрестностей.