(Х, τ ) называется замкнутым в топологическом пространстве, если его дополнение СМ = Х \ М открыто. Определение 6.1. Множество М (Х, τ ) называется замкнутым в топологическом пространстве, если его дополнение СМ = Х \ М открыто.
Так, например, отрезок [ a , b ] замкнут в естественной топологии на прямой, потому что его дополнение - объединение двух интервалов. Множество Z целых чисел также замкнуто, его дополнение представляет собой объединение счетного числа интервалов, а это - открытое множество. Множество рациональных чисел Q не замкнуто и не открыто в R .
Теорема 6.1 . Семейство всех замкнутых множеств топологического пространства (Х, τ ) обладает следующими свойствами:
1 0 . Все множество Х и пустое Ø замкнуты в Х.
2 0 . Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
3 0 . Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство. Свойство 1 0 очевидно, так как СХ = Ø , СØ = Х.
2 0 . Пусть множества Ui ( i Î I ) замкнуты. Тогда их дополнения СUi открыты: СUi Î τ . По аксиоме 2 топологии 
i (CUi) Î τ. Но по известным в теории множеств формулам де Моргана
i (СUi) = C(
i U i) . Следовательно, i Uiзамкнуто. Аналогично доказывается 3 0 .
Часто оказывается удобным задавать топологию на множестве Х не при помощи семейства τ его открытых подмножеств, а при помощи семейства σ замкнутых его подмножеств. Если задано семейство σ , то, переходя к дополнениям, получим семейство τ, удовлетворяющее аксиомам 1 - 3 топологии.
Упражнения
1. Во множестве из трех букв А, В, С задать топологию, отличную от дискретной и антидискретной, так, чтобы в ней количества открытых и замкнутых подмножеств было одинаковым.
2. Как задать топологию Зарисского на бесконечном множестве с помощью семейства замкнутых подмножеств?
3. Какое множество получается в пространстве Зарисского а) при пересечении открытого и замкнутого множеств, б) при объединении открытого и замкнутого множеств?