§ 5. Сравнение топологий

Пусть Х - множество, содержащее более одного элемента, а τ 1 и τ 2 - две различные топологии, заданные в Х.

Определение 5.1. Если τ 1 τ2 , то есть, каждое подмножество, входящее в семейство τ 1 входит также и в τ 2 , то говорят, что топология τ 2 мажорирует топологию τ 1 или топология τ 1 мажорируется топологией τ 2 .

Другими словами, топология τ 2 мажорирует топологию τ 1 , если всякое подмножество, открытое в топологии τ 1 является открытым и в топологии τ 2 . При этом пишут: τ 1 ≤ τ 2 . Если τ 1 ≤ τ 2 , но τ 1 ≠ τ 2 , то говорят, что τ 1 слабее τ 2 , а τ 2 сильнее τ 1 . Ясно, что τ 1 ≤ τ 2 , τ 2 ≤ τ 3 => τ 1 ≤ τ 3 , а τ 1 ≤ τ 2 , τ 2 ≤ τ 1 => τ 1 = τ 2 . Из этого следует, что отношение τ 1 ≤ τ 2 задает на множестве всех топологий структуру частичного упорядочения. Однако множество всех топологий, являясь частично упорядоченным, не является линейно упорядоченным, поскольку τ1 может быть не слабее и не сильнее τ 2 , то есть, не любые две топологии можно сравнивать.

Антидискретная топология является самой слабой, она слабее любой другой топологии. Напротив, дискретная топология - самая сильная. Таким образом, любая топология мажорирует антидискретную и мажорируется дискретной.

Упражнения

1. Дано четырехэлементное множество Х ={ a , b , c , d }. В качестве открытых подмножеств возьмем τ = { X , Ø , а, bc , cd }. Будет ли эта совокупность задавать топологическую структуру? Какие подмножества нужно еще объявить открытыми, чтобы выполнялись все аксиомы топологии?

2. Показать, что в пространстве Зарисского объединение и пересечение двух открытых множеств открыто.

3. Доказать, что во множестве вещественных чисел (на числовой прямой) топология Зарисского слабее естественной топологии.

4. Что представляет собой топология Зарисского, если ее задать на конечном множестве?

5. Доказать, что в пространстве Зарисского пересечение всех открытых множеств, содержащих данную точку х , состоит только из этой точки. Не противоречит ли это третьей аксиоме топологии?