§ 4. Примеры топологических пространств

 

1. Пусть Х - множество, состоящее из двух точек А и В. В семейство τ включим пустое множество Ø , само Х и одноточечное множество { A }. τ = { X , Ø ,{ A }}. Легко убедиться, что все аксиомы топологии 1 - 3 будут выполняться. Возникающее при этом топологическое пространство (Х, τ ) хотя и имеет очень простую структуру, но представляет интерес и носит название - связное двоеточие .

2. Рассмотрим произвольное бесконечное множество Х и семейство τ , состоящее из Х, Ø и всевозможных множеств U Х, дополнения которых С U = Х \ U являются конечными подмножествами. Такое семейство τ задает на Х топологию, которая называется топологией Зарисского .

3. Любое метрическое пространство ( X , ρ ) является топологическим. Как следует из теоремы 2.1, все аксиомы топологического пространства в нем выполняются. В этом случае говорят, что топология индуцируется метрикой.

4. В n -мерном числовом пространстве R n определим открытое множество следующим образом. Возьмем n числовых интервалов ( а i , b i ) ( i = 1, 2, :, n ).

n -мерным координатным параллелепипедом назовем множество

Ω n = { M ( x 1 , x 2 ,..., x n ) | a i < x i < b i }.

А открытым множеством в R n назовем такое U R n , что " х Î U $ Ωn | х Î Ω n U .

Топология, заданная с помощью открытых координатных параллелепипедов, называется естественной.

( R n , τ ) - n - мерное числовое пространство с естественной топологией. В частности, при n =1 получается ( R , τ ) - числовая прямая с естественной топологией. При этом координатный параллелепипед превращается в интервал, поэтому можно сказать, что естественная топология на прямой задается с помощью числовых интервалов.

5. Пусть Х - произвольное непустое множество. τ = { X , Ø }. Такая топология называется антидискретной , а топологическое пространство (Х, τ ) - антидискретным пространством . В нем всего два открытых множества: Х и Ø .

6. Х - произвольное непустое множество. В качестве открытых множеств возьмем всевозможные подмножества Х. Эта топология называется дискретной, а (Х, τ ) - дискретным пространством . В дискретном топологическом пространстве любое множество является открытым.