Глубокий анализ фундаментальных понятий метрического пространства, таких как точка прикосновения, предельная точка, непрерывность и др., показывает, что хотя они и исходят из понятия метрики, но могут быть описаны исключительно в терминах открытых множеств. Это обстоятельство послужило основой для чрезвычайно плодотворной идеи, заключающейся в том, чтобы исходной считать не метрику, а само семейство открытых множеств, причем, описывать его, не опираясь на метрику, а с помощью аксиом, отражающих лишь основные свойства открытых множеств. Так возникло фундаментальное понятие топологического пространства, играющее важную роль во всей математике.
Пусть Х - произвольное множество, а τ = { U i , i Î I } - некоторое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами.
Определение 3.1. Семейство τ задает на множестве Х топологическую структуру или короче: топологию, если это семейство удовлетворяет следующим условиям:
1. Все множество Х и пустое множество Ø принадлежат семейству τ . Х Î τ , Ø Î τ . (т.е. Х и Ø открыты);
2. Объединение любого числа множеств из τ принадлежит τ . (т.е. объединение любого числа открытых множеств открыто);
3. Пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ . (т.е. пересечение конечного числа открытых множеств открыто).
Эти условия называются аксиомами топологии. Множество Х с заданной на нем топологией τ называется топологическим пространством . Элементы из Х называются точками , элементы из τ - открытыми множествами . Поскольку одно и то же множество Х можно превратить в топологическое пространство различными способами, будем представлять его в виде пары (Х, τ ).