Рассмотрим более подробно двумерные многообразия .
Определение 26.1. Клеткой назовем всякое двумерное многообразие с краем, гомеоморфное простому многоугольнику.
Образы вершин многоугольника называются вершинами клетки, образы сторон - сторонами.
Двумерное многообразие Ф разбито на клетки Фi ( i =1, 2,..., n ), если выполнены два условия:
1. Клетки Ф i образуют покрытие многообразия Ф, т.е. 
i Фi = Ф;
2. Пересечение любых двух клеток либо пусто, либо является их общей вершиной, либо общей стороной.
Возьмем какое-либо двумерное многообразие и произведем его клеточное разбиение. Обозначим α 0 - число вершин разбиения, α 1 - число сторон, α 2 - число клеток. Число χ (Ф) = α 0 - α 1 + α 2 называется эйлеровой характеристикой многообразия Ф. Она не зависит от способа разбиения на клетки и является топологическим инвариантом.
Пример 1. Круг. Разобьем его на 4 клетки.
|
α 0 = 5; α 1 = 8; α 2 = 4 . χ круга = α 0 - α 1 + α 2 = = 5 - 8 + 4 = 1. Эйлерова характеристика любой плоской фигуры, гомеоморфной кругу, также будет равна 1. |
Пример 2. Сфера.
|
α 0 = 6; α 1 = 12; α 2 = 8 . χ сферы = α 0 - α 1 + α 2 = = 6 - 12 + 8 = 2. Значит, и поверхность любого многогранника имеет эйлерову характеристику, равную 2. |
Поверхность любого многогранника естественным образом разбита на клетки-грани. Обозначая число вершин, ребер и граней соответственно русскими буквами В, Р и Г и учитывая, что эйлерова характеристика многогранника равна 2, получим знаменитую теорему Эйлера:
В + Г = Р + 2
В любом многограннике сумма числа вершин и граней на 2 единицы больше его ребер.
Вырежем в сфере дыру. Мы можем считать, что контур дыры совпадает с клеткой разбиения и поэтому число вершин и сторон клеточного разбиения останется прежним, а число клеток уменьшится на единицу. В результате и эйлерова характеристика уменьшится на единицу. Итак, каждая дыра уменьшает эйлерову характеристику двумерного многообразия на 1. Например, для сферы с одной дырой χ =1. Плоская фигура, представляющая собой кольцо - множество точек между двумя концентрическими окружностями - гомеоморфна сфере с двумя дырами, и ее эйлерова характеристика равна нулю.
Определение 26.2. Ручкой называется двумерное многообразие с краем, гомеоморфное боковой поверхности цилиндра.
Рассмотрим сферу с двумя дырами. Это - двумерное многообразие с краем, состоящим из двух замкнутых кривых. Край ручки также представляет собой пару замкнутых кривых. Поэтому края этих двух многообразий можно отождествить. Данная операция называется приклеиванием ручки. В результате получится двумерное многообразие без края, называемое сферой с одной ручкой. Сфера с ручкой гомеоморфна тору. (Тор - это поверхность, полученная при вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и не пересекающей последнюю).
Снова возьмем сферу с двумя дырами, разобьем ее на клетки, и отождествим края дыр, то есть, склеим края дыр между собой. В результате получится двумерное многообразие, гомеоморфное сфере с одной ручкой. В то же время при данной операции число вершин, сторон и клеток клеточного разбиения сохранится. Отсюда видим, что каждая приклеенная ручка уменьшает эйлерову характеристику на две единицы.
Упражнения
1. Рассматривая буквы Н, Р, Ф русского алфавита, как подпространства евклидовой плоскости, разбейте их на клетки и вычислите эйлерову характеристику каждой буквы.
2. Чему равна эйлерова характеристика сферы с двумя ручками? С одной ручкой и одной дырой?
3. У икосаэдра 20 граней и 30 вершин. Сколько у него ребер?
4. Необходимым или достаточным условием гомеоморфности двух двумерных многообразий является равенство их эйлеровых характеристик?
