Определение 23.1. Отображение f : X ® Х ′ называется гомеоморфизмом , если: 1) f - биективно; 2) отображения f и f -1 непрерывны.
Обозначается: X ~ X ′ . Тривиальным примером гомеоморфизма является тождественное отображение f : X ® Х. Кроме того, большое количество примеров гомеоморфизма можно получить, рассматривая различные строго монотонные непрерывные функции действительной переменной. Например, отображение интервала (0; 2) в интервал (0; 4) по закону у = х 2 .
Гомеоморфизм можно себе представить как любую деформацию без разрывов и приклеиваний. Например, треугольник на плоскости гомеоморфен кругу и любому простому многоугольнику, сфера - тетраэдру и любому выпуклому многограннику, а сфера с выколотой точкой гомеоморфна плоскости, интервал (0; 1) ~ (- ∞; + ∞) и т.д.
Понятие гомеоморфизма играет фундаментальную роль в топологии, поскольку на основе этого понятия решается вопрос о том, какие две топологические структуры являются эквивалентными, т.е. неразличимыми. Возможность классификации основана на том, что отношение гомеоморфности является отношением эквивалентности на множестве всех топологических пространств. Действительно, оно рефлексивно: Х~Х , симметрично: Х~ Y => Y ~ X и транзитивно: Х~ Y , Y~ Z => X ~ Z . Поэтому множество всех топологических пространств разбивается на попарно непересекающиеся классы, которые называются топологическими типами. свойство пространства, присущее всем топологическим пространствам одного топологического типа, называется топологическим свойством или топологическим инвариантом. Топология изучает свойства фигур, инвариантных относительно любых гомеоморфизмов.
Так, например, сепарабельность, связность, свойство пространства обладать счетной базой - все это топологические инварианты. Одним из важнейших топологических инвариантов является введенная П.С. Урысоном топологическая размерность пространства. Топологические пространства R n и R m не могут быть гомеоморфными, если m ≠ n .