Аксиомы топологии носят настолько общий характер, что топологическое пространство может обладать свойствами, значительно отличающимися от привычных нам свойств метрических пространств, так точка может быть открытым множеством, последовательность точек может иметь два предела и т.п. В связи с этим оказывается целесообразным добавлять к указанным общим аксиомам ограничения в виде первой и второй аксиом счетности, а также в виде аксиом отделимости.
Определение 20.1 . Топологическое пространство
(Х, τ ) называется Т0 -пространством , если из любых двух его различных точек хотя бы одна обладает окрестностью, не содержащей другую точку.
Определение 20.2. Топологическое пространство (Х, τ ) называется Т1 -пространством , если каждая из двух его различных точек обладает окрестностью, не содержащей другую точку.
Т1 -пространства называют еще пространствами, удовлетворяющими первой аксиоме отделимости.
Еще более сильное требование - вторая аксиома отделимости.
Определение 20.3. Топологическое пространство (Х, t ) называется Т 2 -пространством или хаусдорфовым , если у любых двух его различных точек существуют непересекающиеся окрестности.
Хаусдорфово пространство, очевидно, является Т1 -пространством, а Т1 -пространство - Т0 -пространством. Обратное неверно, например, связное двоеточие Х ={1, 2}, τ ={ X , Ø , {1}} является Т0 -пространством, но не является Т1 -пространством. Пространство (Х, τ ) с топологией Зарисского является Т0 -пространством и Т1 -пространством, но не является хаусдорфовым.
Оказывается, уже в Т1 -пространствах не могут иметь места некоторые из ситуаций, несовместимые с нашими интуитивными представлениями. Так в Т1 -пространстве любое одноточечное множество замкнуто, а любая окрестность предельной точки множества М содержит бесконечное множество различных точек из М. Одним из важнейших свойств хаусдорфовых пространств является единственность предела последовательности точек.
Хаусдорфовость пространства является наследственным свойством, т.е. любое подпространство хаусдорфова пространства является хаусдорфовым. Примерами хаусдорфовых пространств являются n - мерное числовое пространство Rn с естественной топологией, в частности, числовая прямая R .
Антидискретное пространство и пространство, наделенное топологией Зарисского, не являются хаусдорфовыми.
Определение 20.4. Топологическое пространство (Х, τ ) называется Т3 -пространством , если любое его замкнутое подмножество и не содержащаяся в нем точка имеют непересекающиеся окрестности.
Определение 20.5. Пространство (Х, τ ) называется регулярным , если оно является как Т1 -пространством, так и Т3 -пространством.
Любое регулярное пространство - обязательно хаусдорфово, но не наоборот. Простейшим примером Т3 -пространства, не являющегося Т1 -пространством, а следовательно, и не регулярным, может служить антидискретное пространство, состоящее из не менее, чем двух элементов. Регулярность пространства - наследственное свойство.
Определение 20.6. Топологическое пространство (Х, τ ) называется Т4 -пространством , если у любых двух непересекающихся замкнутых его подмножеств существуют непересекающиеся окрестности.
Определение 20.7. Пространство (Х, τ ) называется нормальным , если оно является одновременно Т1 -пространством и Т4 -пространством
Всякое нормальное пространство регулярно, обратное неверно. Примером Т4 -пространства, не являющегося Т1 -пространством и не являющегося хаусдорфовым, служит любое антидискретное пространство, содержащее хотя бы две точки.
В отличие от регулярности и хаусдорфовости, нормальность пространства не является наследственным свойством, т.е. не любое подмножество нормального пространства нормально. Однако любое замкнутое подмножество будет нормальным.