Пусть ( X , ρ) - произвольное метрическое пространство, а Î Х - некоторая фиксированная точка.
Определение 2.1. Открытым шаром с центром в точке а и радиусом r называется множество
В( а, r ) ={ x Î Х | ρ( x,a ) < r},
состоящее из всех точек множества Х, расстояние которых до точки а меньше r.
Пусть в метрическом пространстве ( X , ρ) дано множество А Х. Точка х0называется внутренней точкой множества А, если существует открытый шар В( х0, r), целиком содержащийся в А, т.е.
х0- внутренняя точка А => $ В(х0, r) | х0 Î В(х0, r) А.
Совокупность всех внутренних точек множества А называется его внутренностью .
Обозначается: Å (или Int A ).
Множество А в метрическом пространстве ( X , ρ) называется открытым , если оно совпадает со своей внутренностью: А = Å. Или:
А ( X , ρ) открыто => " х Î А $ В( х, r ) | х Î В ( х, r ) А.
Будем считать все множество Х, а также пустое множество Ø открытыми.
Теорема 2.1 . Семейство τ , состоящее из всех открытых подмножеств метрического пространства
(X, ρ), обладает следующими свойствами:
1. Все множество Х и пустое множество Ø открыты: Х Î τ , Ø Î τ.
2. Объединение любого числа открытых множеств открыто.
Uλ Îτ (λ Î Λ) => λÎ Λ Uλ Î τ
( Λ - любое множество индексов, возможно, бесконечное)
3. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Ui Î τ (i = 1, 2,..., n) => i=1n Ui Î τ
Доказательство.
2. Пусть U1, U2,... Î τ, т. е. открытые множества, а U = λÎ Λ Uλ. Если точка х0 Î U, то она принадлежит хотя бы одному из Ui. Положим х0 Î U0 . По условию U0 открыто, следовательно,
$ В(х0, r) | х0 Î В(х0, r) U0 U, => U - открытое.
3. Пусть U1, U2,..., Un - конечное семейство открытых множеств и U = i=1n Ui.
Пусть x0 Î U = i=1n Ui. Тогда точка х 0 принадлежит каждому из множеств Ui , а все они открыты, значит, существуют открытые шары Вi (х0, ri) такие, что х0 Î В(х0, ri) Ui . Все эти шары имеют общий центр - точку х0 . Так как этих шаров - конечное число, то найдется шар с минимальным радиусом. Положив: r = min {ri}, убеждаемся, что х0 Î В(х0, r) U, то есть, U - открыто. Теорема доказана. |
Упражнения.
1. Задать дискретную метрику на множестве всех многоугольников на плоскости и проверить выполнимость аксиом 1*-3*.
2. На множестве Х = R n задано отображение ρ: X × X ® R+ по закону: ρ( x , y ) = min |x k - y k| ,
где x = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) , y = ( y 1 , y 2 ,..., y n ). Показать, что данное отображение не является метрикой.
3. Пусть Х - множество всевозможных прямых евклидовой плоскости. Зададим отображение
ρ: X × X ® R+ по закону: ρ( x , y ) - есть неориентированный наименьший угол между прямыми x и y . Какие из аксиом метрики будут выполняться? Будет ли такое отображение метрикой?