§2. Открытые множества в метрическом

пространстве

 

Пусть ( X , ρ) - произвольное метрическое пространство, а Î Х - некоторая фиксированная точка.

Определение 2.1. Открытым шаром с центром в точке а и радиусом r называется множество

В( а, r ) ={ x Î Х | ρ( x,a ) < r},

состоящее из всех точек множества Х, расстояние которых до точки а меньше r.

Пусть в метрическом пространстве ( X , ρ) дано множество А Х. Точка х0называется внутренней точкой множества А, если существует открытый шар В( х0, r), целиком содержащийся в А, т.е.
х0- внутренняя точка А => $ В(х0, r) | х0 Î В(х0, r) А.

Совокупность всех внутренних точек множества А называется его внутренностью .
Обозначается: Å (или Int A ).

Множество А в метрическом пространстве ( X , ρ) называется открытым , если оно совпадает со своей внутренностью: А = Å. Или:

А ( X , ρ) открыто => " х Î А $ В( х, r ) | х Î В ( х, r ) А.

Будем считать все множество Х, а также пустое множество Ø открытыми.

Теорема 2.1 . Семейство τ , состоящее из всех открытых подмножеств метрического пространства
(X, ρ), обладает следующими свойствами:

1. Все множество Х и пустое множество Ø открыты: Х Î τ , Ø Î τ.

2. Объединение любого числа открытых множеств открыто.

Uλ Îτ (λ Î Λ) => λÎ Λ Uλ Î τ

( Λ - любое множество индексов, возможно, бесконечное)

3. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Ui Î τ (i = 1, 2,..., n) => i=1n Ui Î τ

Доказательство.

2. Пусть U1, U2,... Î τ, т. е. открытые множества, а U = λÎ Λ Uλ. Если точка х0 Î U, то она принадлежит хотя бы одному из Ui. Положим х0 Î U0 . По условию U0 открыто, следовательно,

$ В(х0, r) | х0 Î В(х0, r) U0 U, => U - открытое.

3. Пусть U1, U2,..., Un - конечное семейство открытых множеств и U = i=1n Ui.


Пусть x0 Î U = i=1n Ui. Тогда точка х 0 принадлежит каждому из множеств Ui , а все они открыты, значит, существуют открытые шары Вi (х0, ri) такие, что х0 Î В(х0, ri) Ui . Все эти шары имеют общий центр - точку х0 . Так как этих шаров - конечное число, то найдется шар с минимальным радиусом.

Положив: r = min {ri}, убеждаемся, что

х0 Î В(х0, r) U, то есть, U - открыто. Теорема доказана.

 

Упражнения.

1. Задать дискретную метрику на множестве всех многоугольников на плоскости и проверить выполнимость аксиом 1*-3*.

2. На множестве Х = R n задано отображение ρ: X × X ® R+ по закону: ρ( x , y ) = min |x k - y k| ,
где x = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) , y = ( y 1 , y 2 ,..., y n ). Показать, что данное отображение не является метрикой.

3. Пусть Х - множество всевозможных прямых евклидовой плоскости. Зададим отображение
ρ: X × X ® R+ по закону: ρ( x , y ) - есть неориентированный наименьший угол между прямыми x и y . Какие из аксиом метрики будут выполняться? Будет ли такое отображение метрикой?