§19. Сепарабельные пространства 

Определение 19.1. Подмножество А топологического пространства (Х, τ) называется всюду плотным в Х, если = X.

Например, множество рациональных чисел Q всюду плотно в R , так как .

Определение 19.2. Топологическое пространство (Х, τ ) называется сепарабельным , если в нем содержится счетное, всюду плотное подмножество.

Так, числовая прямая сепарабельна. Сепарабельным является также и n -мерное числовое пространство Rⁿ. Счетным, всюду плотным подмножеством в нем является множество всех точек с рациональными координатами. Несчетное множество точек, наделенное дискретной топологией, несепарабельно.

Теорема 19.1 . Если пространство (Х, τ ) обладает счетной базой, то оно сепарабельно.

Доказательство. Пусть U₁, U₂,... U_n,... - счетная база в Х. Образуем счетное подмножество М = {a_n}, выбрав по одной точке a_i из каждого U_i (i = 1, 2,..., n,...) и докажем, что множество М всюду плотно.
В самом деле, пусть х₀ - произвольная точка из Х, а U₀ - произвольная ее окрестность. По теореме о базе
" х₀, " U₀ ' x₀ $ U_noиз базы | х₀ U_no U₀. Но по построению множества М точка a_n0 U_no U₀. Значит, каждая окрестность U₀ произвольной точки х₀ содержит точку из М, т.е. каждая точка х₀ Î Х является точкой прикосновения для М . Следовательно, = Х и М всюду плотно в Х. Теорема доказана.

Обратное утверждение неверно, т.е. сепарабельное пространство не обязано обладать счетной базой. Построим пример сепарабельного пространства, не обладающего счетной базой.

Пусть Х - несчетное множество, наделенное топологией Зарисского. В пространстве Зарисского все открытые множества, кроме Ø , получаются выбрасыванием конечного числа точек. Следовательно, все замкнутые множества там - конечны, кроме всего Х, т.е. Х - единственное замкнутое бесконечное множество. Теперь ясно, что любое бесконечное, в том числе и счетное подмножество М пространства Х, всюду плотно, поскольку его замыкание , будучи бесконечным и замкнутым множеством, должно совпадать со всем пространством Х. Значит, Х - сепарабельно. С другой стороны, оно не может обладать счетной базой. Ведь если предположить, что β ={U_n} - счетная база и х - некоторая точка из Х, то пересечение всех открытых множеств, содержащих х , есть сама точка х. Если бы в пересечении была еще точка у ≠ х, то получилось бы, что дополнение С_у = Х \ {y} открыто в топологии Зарисского, но не содержит точку у . (А ведь у мы взяли в пересечении всех открытых множеств!). Следовательно и пересечение множеств базы, содержащих х , совпадает с точкой х : _i U_i = x. Перейдем к дополнениям:
C_i U_i = Cx => C_i U_i = X \ {x}. Дополнение пересечения равно сумме дополнений, поэтому
_i CU_i = X \ {x}( i = 1,2, : n ). Все СU_i конечны, _i CU_i - счетно, как объединение счетного числа конечных множеств. Получили противоречие, так как справа - несчетное, а слева - счетное множество. Итак, счетной базы в этом пространстве нет.