§17. Индуцированная топология и подпространства  

Топология любого пространства естественным образом задает (индуцирует) топологию на любом его подмножестве. В самом деле, пусть (Х, τ) - произвольное топологическое пространство, А Х - некоторое непустое его подмножество. Рассмотрим семейство τА = {U A} подмножеств, каждое их которых есть пересечение с А всех подмножеств из τ . UA = U А, UÎτ . Легко проверить, что тогда семейство

{UA} = τА удовлетворяет всем аксиомам топологии и (А, τА) - есть топологическое пространство, которое называется подпространством пространства Х. Топология τАпри этом называется индуцированной топологией.

Предположим теперь, что множество В , в свою очередь, является подмножеством А . Тогда на В индуцируются две топологии: одна, которая индуцируется из пространства (Х, τ), а вторая - из подпространства ( А, τА). Эти две топологии, как нетрудно убедиться, совпадают. Другими словами, индуцирование топологий транзитивно. Разумеется, без этого свойства понятие индуцированной топологии было бы некорректно.

Пусть (А,τА) - подпространство пространства (Х, τ) и В - подмножество A: BA.

Теорема 17.1 . Подмножество B (А,τА) (Х, τ) будет замкнутым в подпространстве (А, τА) тогда и только тогда, когда оно представляет собой пересечение с А некоторого замкнутого в Х множества:

В замкнуто в А <=> В = А F, где F - замкнуто.

Доказательство. I . В замкнуто в А => СВ = А \ В открыто в А. Топология индуцирована из Х, поэтому А\В = А U, где U Î τ . Тогда CU = Х \ U замкнуто в Х и В = А СU. Мы получили, что В представлено в виде пересечения А с некоторым замкнутым в Х множеством.

II . Пусть В= АF, где F - замкнуто в Х => СF открыто в Х. СF = Х \ F Î τ. Но тогда (Х \ F) А открыто в А. (Х \ F) А Î τА, а его дополнение до А :

А \ [(Х \ F) А] = B - замкнуто в А .

Теорема доказана.

В дальнейшем вместо выражения: "часть множества В , лежащая в А " будем говорить: "след В на А ". Итак, мы можем теперь сказать, что индуцированная из пространства Х топология в подмножестве А задается следами на А всех открытых, либо следами на А всех замкнутых множеств.

Пусть А - подпространство в Х и пусть В А , тогда очевидно, что если В открыто в Х, то В открыто и в А , ведь В А = В и по определению подпространства В открыто в А . Что же касается обратного утверждения: "Если В открыто в А , то оно открыто в Х", то оно, вообще говоря, неверно. (Пример. В пространстве R3 любой круг без ограничивающей его окружности открыт в несущей его плоскости, однако не открыт, как подмножество R3 , ведь в нем нет ни одной внутренней точки). А для того, чтобы оно было верным, надо дополнительно потребовать, чтобы А само было открытым подмножеством в Х, тогда В будет открыто в Х, так как является пересечением открытых множеств: В = В А.

Совершенно аналогичная ситуация и с замкнутыми множествами: если В замкнуто в Х, то оно замкнуто и в А . Обратно, если В замкнуто в А , а А замкнуто в Х, то В замкнуто в Х.

Некоторое свойство пространства Х принято называть наследственным свойством, если этим свойством обладает каждое его подпространство. Например, открытость и замкнутость множества наследуются. Также свойство пространства удовлетворять первой или второй аксиоме счетности является свойством наследственным, ведь след счетной базы Х на любом подпространстве А Х есть счетная база в А .