U . Определение 15.1. Система γ открытых подмножеств пространства (Х, τ ) называется предбазой топологии τ (или предбазой пространства Х), если система β, состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из γобразует базу топологии τ .
Ясно, что всякая база является предбазой, но не наоборот. Мы уже говорили, что не всякая система подмножеств может служить базой некоторой топологии. Возникает вопрос, а может ли произвольная совокупность α подмножеств служить предбазой некоторой топологии, т. е. можно ли построить топологию τ так, чтобы каждое открытое множество представлялось в виде объединения конечных пересечений множеств из α ? Оказывается, что это всегда возможно. Для этого сначала надо дополнить совокупность α всевозможными конечными пересечениями множеств из α , а также добавить все множество Х - получится база β . Затем присоединим к β все подмножества, представляющие всевозможные объединения множеств из β, а также пустое множество Ø . Получится топология τ .
Пример 1. Х = {1, 2, 3, 4, 5}. Возьмем произвольное семейство подмножеств, например, α ={(1,2,3); (2,3,4); (3,4,5)}. Тогда
β ={(1,2,3); (2,3,4); (3,4,5); (2,3); (3,4); (3); Х} - база.
τ ={(1,2,3); (2,3,4); (3,4,5); (2,3); (3,4); (3); Х; (1,2,3,4); (2,3,4,5); Ø }.
Сконструированную таким образом топологию называют топологией, порожденной исходной совокупностью α , а сама совокупность α - предбаза - называется системой образующих этой топологии. Отметим также, что некоторая совокупность подмножеств из Х может служить предбазой или базой лишь для вполне определенной топологии, тогда как данная топология может иметь много различных баз и предбаз, причем предпочтение той или иной базе (или предбазе) отдают в зависимости от характера рассматриваемого вопроса.
Пример 2. Топология на плоскости, порожденная всевозможными прямыми, есть дискретная топология. (Из объединений конечных пересечений можно построить любое множество, или: любое множество входит в τ , т.е. открыто). Всевозможные прямые - предбаза, всевозможные точки и прямые - база, любые множества - топология.
Пример 3. Семейство α , состоящее из всевозможных полос
{(x,y) Î R2; a < x < b, y Î R} и {(x,y) Î R2; x Î R, c < y < d}определяет на плоскости естественную топологию. Всевозможные полосы - предбаза, открытые прямоугольники - база.
Дадим теперь определение базы и предбазы в точке.
Определение 15.2. Система βx o открытых окрестностей точки х 0 называется базой в точке х 0 (локальной базой ), если каждая окрестность U точки х 0 содержит некоторую окрестност ь V из системы βx o .
βx o - локальная база в точке х 0 <=> " U ' x 0 $ V ' x 0, V Î βxo | x 0 Î V U .
Определение 15.3. Система α xo открытых окрестностей точки х 0 называется предбазой в точке х 0 , если система, состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из α xo образует локальную базу в точке х 0 .
Теперь дадим определения двух важных классов топологических пространств.
Определение 15.4. Топологическое пространство (Х, τ ) называется пространством, удовлетворяющим второй аксиоме счетности или пространством со счетной базой , если оно обладает базой, состоящей из не более чем счетного числа открытых множеств.
Определение 15.5. Топологическое пространство (Х, τ ) называется пространством, удовлетворяющим первой аксиоме счетности , если в каждой его точке существует локальная база, состоящая из не более чем счетного числа окрестностей этой точки.
Если пространство Х удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно подавно удовлетворяет и первой. В самом деле, пусть U 1, U 2 ,..., U n ,... - счетная база в Х, тогда семейство β xo , состоящее из всех тех множеств этой базы, которые содержат точку х 0 , очевидно, образует локальную счетную базу в точке х 0 .
Но существуют пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, но не удовлетворяющие второй. Например, произвольное несчетное множество, наделенное дискретной топологией. Действительно, в нем все точки изолированные, каждое одноточечное множество открыто, и само служит базой в точке. С другой стороны, в состав любой базы такого пространства, во всяком случае, должно входить несчетное множество одноточечных подмножеств, которые являются открытыми окрестностями самих точек. Счетной базы здесь нет.