§13. Канторово совершенное множество  

Рассмотрим замкнутое множество F₀ = [0, 1] на числовой прямой R . Разделим этот отрезок на три равные части и удалим из него средний интервал (1/3; 2/3) длины 1/3, а оставшееся замкнутое множество, являющееся объединением двух отрезков [0; 1/3] и [2/3; 1] обозначим через F₁ .

C каждым из оставшихся отрезков поступим точно так же: разделим на три равные части и удалим средние интервалы, имеющие длину 1/3². Объединение оставшихся четырех отрезков обозначим F₂ . Продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств:

F₀ F₁ F₂ ... F_n ...

Замкнутое множество , являющееся пересечением всех построенных выше множеств
F i , называется канторовым совершенным множеством или канторовым дисконтинуумом .

Замечание. Весьма примечательным представляется тот факт, что множество F получено из отрезка
[0, 1] удалением счетного числа интервалов, суммарная длина которых в точности равна длине всего отрезка [0, 1]:

.