§12. Предельные точки

Определение 12.1. Точка х₀ Î Х называется предельной точкой множества М Х, если любая ее окрестность U содержит хотя бы одну точку из М , отличную от х₀ .

Ясно, что всякая предельная точка множества является для него точкой прикосновения, но обратное неверно, например, любая изолированная точка является точкой прикосновения, но не является предельной. Таким образом, замыкание M любого множества распадается на точки трех типов: изолированные точки, предельные точки, принадлежащие М и предельные точки, не принадлежащие М .

Определение 12.2. Совокупность всех предельных точек множества М обозначается М ′ и называется производным множеством .

Очевидно, что М′ M .

Определение 12.3. Множество М (Х, τ ) называется совершенным, если оно совпадает со своим производным множеством, т.е. М = М′ .

Итак, множества совершенно только в том случае, когда оно замкнуто и не содержит изолированных точек.

Простейшие примеры совершенного множества: отрезок [0, 1] на прямой, замкнутый шар в пространстве. Множество Z целых чисел замкнуто, но не совершенно. Замечательным примером совершенного множества служит канторово совершенное множество или канторов дисконтинуум.