=> М = . Теорема 11.1 . Множество М в топологическом пространстве (Х, τ) замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.
Доказательство. I . Пусть М - замкнуто, => CМ Î τ,
СМ = Int (СМ) => по формуле (9.1): СМ = С => М = .
II . Пусть М = . Тогда СМ = С => по формуле (9.1): СМ = Int (СМ) => СМ Î τ => М - замкнуто. Теорема доказана.
Оказывается, что замыкание любого множества М представляет собой наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное множество М, а именно, имеет место
Теорема 11.2. Замыкание любого множества М пространства Х совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, содержащих М .
= 
i Î I Fi, M 
Fi " i Î I, Fi- замкнуты .
Доказательство. Пусть М - произвольное множество в топологическом пространстве Х
и пусть N = i Î I Fi,
М Fi " i Î I. Заметим, что пересечение здесь распространено на все замкнутые множества, содержащие множество М, в частности, туда тоже входит, ибо М . Так как N - пересечение, то N Fi , в том числе и N . Чтобы доказать обратное включение, возьмем любое замкнутое множество Fi, содержащее М: М Fi.
По свойству монотонности замыкания 
, но = Fi, так как Fiзамкнуто. Итак, Fi, а раз оно входит во все Fi , то входит и в их пересечение: N. Мы получили = N. Теорема доказана.
Теорема 11.3. Для любых двух множеств М и N топологического пространства (Х, τ) замыкание объединения равно объединению замыканий: 
.
Доказательство. Из включений M M 
N, N M N в силу монотонности замыкания: 
, 
откуда следует: 
(*). Докажем обратное включение. Из М , N 
следует M N и по монотонности замыкания 
(**). (Последнее равенство следует из того, что замыкание замкнутого множества есть оно само). Наконец, из (*) и (**) следует: , что и требовалось.