Эффективное решение крупных научно-технических задач в настоящее время невозможно без использования ЭВМ. В результате достижения качественно нового уровня мощности современных электронно-вычислительных машин стало возможным на их основе исследовать сложные проблемы и явления путем построения и изучения соответствующей математической модели. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.
Пусть, например, требуется исследовать какое-либо физическое явление. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования, и строится математическая модель, представляющая собой запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.).
После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Но в явном виде это удается сделать лишь в исключительных случаях. Между тем для практических приложений требуется изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики. Именно на этом этапе вычислительного эксперимента требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, использование численных методов. Под численным методом понимается такая интерпретация математической модели (называемая иногда дискретной моделью), которая доступна для реализации на ЭВМ. Иначе говоря, численный метод - это метод (алгоритм) решения задачи, сводящийся к тем действиям, которые выполняет ЭВМ, то есть к арифметическим и логическим действиям над числами. Таким образом результатом реализации численного метода является число или таблица чисел.
Чтобы реализовать численный метод, нужно составить программу для ЭВМ на том или ином алгоритмическом языке (например, Pascal или Fortran). После этапа отладки программы (занимающего значительную часть времени проведения вычислительного эксперимента) проводятся собственно вычисления и анализ результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению. При необходимости вносятся уточнения в математическую модель и изменения в численный метод, после чего описанные выше этапы повторяются.
Таким образом основу вычислительного эксперимента составляет триада: математическая модель - численный метод (алгоритм) - программа для ЭВМ.
Предметом данного пособия является изучение вопросов, связанных со второй составляющей триады - численными методами. Рассматриваются некоторые численные методы решения задач линейной алгебры и математического анализа.
Пусть R - точное значение результата решения некоторой задачи, сформулированной на основе некоторой математической модели. В силу некоторого несоответствия математической модели реальной ситуации или неточности исходных данных для задачи (например, данные получены в результате экспериментов) вместо R будет получен результат, который обозначим через R1. Разность ε1 = R - R1 называется неустранимой погрешностью (или погрешностью математической модели), так как такая погрешность не может быть устранена в ходе последующих вычислений.
Для решения задачи в рамках выбранной математической модели выбирается тот или иной численный метод, который вносит новую погрешность, приводящую к получению результата R2 вместо R1. Погрешность ε2 = R1 - R2 называется погрешностью метода.
Теперь вспомним, что при использовании ЭВМ числа всегда округляются до определенного знака, что в итоге приводит к получению результата R3 вместо R2. Погрешность ε3 = R2 - R3 называется вычислительной погрешностью.
Полная погрешность ε выражается как сумма:
ε ≡ R - R3 = ε1+ ε2+ ε3.
Обычно вместо погрешностей ε1, ε2, ε3 удается получить их оценки, в некоторой норме: ||εi|| ≤∆i, i=1,2,3. Тогда оценка полной погрешности имеет вид:||ε|| ≤∆ ≡ ∆1+ ∆2+∆3
В реальных задачах какие-либо из погрешностей εi могут оказаться сравнительно малыми.