Приведенная формула (4.25) для оценки погрешности квадратурных формул использует значения производных подинтегральной функции, что требует дополнительного анализа и вычислений. В связи с этим получило распространение практическое правило Рунге оценки погрешности.
Идея состоит в том, чтобы организовав вычисления значений интеграла по нескольким семействам (множествам) узлов, затем сравнить результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее удобное правило связано с вычислением интеграла дважды: LN[f], L2N[f].
| R2N[f] ≈ (L2N[f] - LN[f] ) / ( 2p -1 ) | (4.32) |
|---|
Определение 4.7 Оценка погрешности, которая находится до решения задачи, называется априорной.
Такую оценку дает теорема о погрешности.
Определение 4.8 Оценка погрешности, которая находится после решения задачи, называется апостериорной.
Эту оценку дает правило Рунге.
После подсчета величин LN[f] и L2N[f] кроме оценки погрешности по правилу Рунге можно также дополнительно уточнить приближенное значение интеграла. Величина
| L*2N[f] = (2pL2N[f] - LN[f] ) / ( 2p -1 ) | (4.33) |
|---|
Погрешность LN[f] - L*2N[f] имеет более высокий порядок
относительно h, чем
L[f]-LN[f] (и, соответственно, L[f]-L2N[f]).
Именно, если
L[f]-LN[f]=chp+O(hp+l), где l > 0
и константа c≠ 0 не зависит от h,
то
LN[f] - L*2N[f]=O(hp+l).
Более подробно эти вопросы разобраны в работе [6].
Для практического вычисления интеграла L[f] с заданной точностью ε выбирается некоторое начальное число N разбиений отрезка [a,b] и вычисляются величины LN[f] и L2N[f]. Если |R2N[f]| ≤ ε, то с точностью ε полагают L[f]≈L2N[f] (либо более точно L[f]≈L*2N[f]). В противном случае вычисляют значение L4N[f] и сравнивают |R4N[f]| и ε, и т.д.