Формула Симпсона.

Заменим площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на частичном отрезке [x_i-1,x_i], площадью другой криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=P_2,i(x), где

P_2,i(x) = f(x_i-1 )(x - ξ_i )(x - x_i )/(x_i-1 - x_i )(x_i-1 - x_i ) +
+ f(ξ_i )(x - x_i-1 )(x - x_i )/(ξ_i - x_i-1 )(ξ_i - x_i ) +
+ f(x_i )(x - x_i-1 )(x - x_i )/(x_i - x_i-1 )(x_i - ξ_i )
есть интерполяционный полином второй степени (парабола) в форме Лагранжа, построенный по трем точкам (x_i-1,f(x_i-1 )), (ξ_i,f(ξ_i )),
(x_i,f(x_i )) Таким образом вместо интеграла рассмотрим величину

(4.20)

ЗАДАЧА 4.3 Провести полный вывод формул (4.20) (Совет: при интегрировании воспользоваться заменами переменных вида: y= x-x_i ).
В результате суммирования величин (4.20) по всему отрезку [a,b] получим квадратурную формулу Симпсона (формулу парабол):

L_N[f] = ∑^N_i=1 l_i[f] = h ∑^N_i=1[f(x_i-1 )/6 + 2f(ξ_i )/3 + f(x_i )/6] (4.21)

Выпишем более удобное для численной реализации представление формулы Симпсона, очевидным образом полученное из предыдущего:

L_N[f] = h [f(a) + f(b) + 2∑_i=1^N-1f(x_i ) + 4∑_i=1^Nf((x_i-1 + x_i )/2 )]\6 (4.22)

ЗАДАЧА 4.4 Показать эквивалентность представлений (4.21) и (4.22).