Формула трапеций.

Проведем через точки: (x_i-1, f(x_i-1)), (x_i, f(x_i)) полином первой степени (прямую линию). И заменим на отрезке [x_i-1,x_i] площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x), площадью обычной трапеции, образованной подграфиком функции y=P_1,i(x), где в соответствии с формулой интерполяционного полинома в форме Лагранжа P_1,i(x)=f(x_i-1 )(x-x_i )/ (x_i-1-x_i ) + f(x_i )(x-x_i-1 )/ (x_i-x_i-1 ). Таким образом вместо интеграла рассмотрим .

Просуммировав такие площади по всему отрезку [a,b], получим квадратурную формулу трапеций:

LN[f] = ∑Ni=1 lN , i[f] = h ∑Ni=1 [f(xi-1 ) + f(xi )]/2	(4.18)

Выпишем более удобное для численной реализации представление формулы трапеций, полученное очевидным образом из (4.18):

LN[f] = h [(f(a) + f(b))/2 + ∑i=1N-1 f(xi ) ]	(4.19)

ЗАДАЧА 4.2 Показать эквивалентность представлений (4.18) и (4.19).