Формула прямоугольников.

Заменим на отрезке [x_i-1, x_i] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени, то есть константой. Данный полином можно однозначно провести через одну точку. В качестве такой точки выберем точку
(ξ_i, f(ξ_i)), где ξ_i = (x_i+x_i-1 ) /2 - середина отрезка [x_i-1 , x_i]. Тогда полином, очевидно, имеет вид: P_0,i(x)=f(ξ_i ) Здесь и далее первым нижним индексом будем обозначать степень полинома, а вторым нижним индексом будем обозначать номер отрезка. Теперь площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на отрезке [x_i-1,x_i], заменим на площадь прямоугольника с основанием [x_i-1,x_i] и высотой f(ξ_i), то есть вместо рассмотрим .

Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [a,b], получим:

Вспоминая определение x_i окончательно получаем квадратурную формулу (средних) прямоугольников:

LN[f] = h ∑Ni=1 f((xi-1 + xi )/2)	(4.17)