Формула прямоугольников.

Заменим на отрезке [xi-1, xi] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени, то есть константой. Данный полином можно однозначно провести через одну точку. В качестве такой точки выберем точку
(ξi, f(ξi)), где ξi = (xi+xi-1 ) /2 - середина отрезка [xi-1 , xi]. Тогда полином, очевидно, имеет вид: P0,i(x)=f(ξi ) Здесь и далее первым нижним индексом будем обозначать степень полинома, а вторым нижним индексом будем обозначать номер отрезка. Теперь площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на отрезке [xi-1,xi], заменим на площадь прямоугольника с основанием [xi-1,xi] и высотой f(ξi), то есть вместо рассмотрим .

Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [a,b], получим:

LN[f] = ∑Ni=1 lN , i[f] = h ∑Ni=1 f(ξi ) .

Вспоминая определение xi окончательно получаем квадратурную формулу (средних) прямоугольников:
LN[f] = h ∑Ni=1 f((xi-1 + xi )/2) (4.17)