Постановка задачи численного интегрирования.

В курсе математического анализа изучаются методы вычисления различных определенных интегралов. Например:

∫₀^π sin(x)dx = -cos(x) |₀^π = -(-1-1) = 2

Теперь попробуем вычислить каким-либо методом математического анализа аналогичный интеграл вида и убедимся в том, что он аналитически не вычисляется. Однако практические задачи в своем большинстве приводят именно к такого типа интегралам. Как решается эта проблема? В этих случаях применяется численное интегрирование. Кроме того, если функция y=f(x) задана таблично, то приближенное вычисление интеграла также выполняется численно.

Прежде чем переходить к численным методам подсчета интегралов, вспомним, как вводится интеграл Римана в курсе математического анализа. Проводится разбиение отрезка [a, b] на N частичных отрезков [x_i-1, x_i], i = 1, ..., N, внутри каждого из которых выбирается произвольная точка ξ_i. Далее составляется интегральная сумма:

S_N=∑^N_i=1 f(ξ_i ) (x_i - x_i-1 )

Тогда интеграл Римана определяется как следующий предел интегральных сумм:

Если зафиксировать число N и не переходить к пределу, то получим некоторое приближенное значение интеграла. Простейшие численные методы нахождения значения интеграла основаны на подобных соображениях.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:

	(4.15)

где y=f(x) - заданная функция.

Введем на отрезке [a,b] сетку :

Точки x_i называют узлами сетки (i=1, ..., N), отрезки [x_i-1,x_i] - частичными отрезками, числа h_i=x_i-x_i-1 называют шагами сетки (i=1, ..., N).

В качестве приближенного значения интеграла L[f] рассмотрим следующее:

LN[f] ≡∑ Ni=1 lN , i[f]	(4.16)

где l_i[f] - формула для приближенного вычисления интеграла на частичном отрезке [x_i-1,x_i].

Определение 4.1 Формула l_i[f] называется простейшей квадратурной формулой.

Определение 4.2 Формула L_N[f] называется составной квадратурной формулой.

Определение 4.3 Разность L[f] - L_N[f] ≡ R_N[f] называется погрешностью квадратурной формулы.

Определение 4.4 Если имеет место оценка |R_N[f]| ≤ ch^p, где константа c > 0 не зависит от величины , то говорят, что погрешность квадратурной формулы имеет порядок p.

В дальнейшем ограничимся равномерной сеткой, когда все шаги h_i одинаковы, то есть h_i= h≡(a-b)/N, i=1, ..., N.

Квадратурные формулы, которые мы будем рассматривать, получаются посредством замены функции y=f(x) на каждом частичном отрезке [x_i-1,x_i] интерполяционными полиномами степени 0, 1 или 2.