Интерполяционный полином Эрмита.

Задачу интерполяции, сформулированную в предыдущих параграфах, можно обобщить. Одним из вариантов является следующая постановка. Найти полином P_2N+1(x) степени 2N+1, значения которого и его производной в узлах x_i , i= 0, ..., N, удовлетворяют соотношениям

P_2N+1(x_i ) = f_i , P'_2N+1(x_i ) = f '_i , i = 0, ..., N.

Эту задачу решает так называемый интерполяционный полином Эрмита. Соответственно доказывается теорема существования и единственности такого полинома.

В общем случае выражение для полинома Эрмита достаточно громоздко. Поэтому ограничимся случаем двух точек (x₀ ,x₁ ), в которых заданы значения функции (f₀ , f₁ ) и ее производных (f '₀ , f '₁ ). Тогда полином Эрмита имеет вид

P3(x) = f0 + (x - x0 ){f '0 + (x - x0 )[f '0 - (f0 - f1 )/(x0 - x1) + +(x - x1 )(f '0 - 2(f0 - f1 )/(x0 - x1 ) + f '1 )/(x0 - x1 )]/(x0 - x1 )}	(3.16)

Существует множество других интерполяционных постановок задач и формул, их разрешающих, - формулы Стирлинга, Бесселя, многомерные аналоги и др. [1, 3].