Метод Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения x^(k+1) (см. формулы (1.13),(1.14)) его уже полученные компоненты x₁^(k+1), ...,x_{i - 1}^(k+1) сразу же используются для вычисления x_i^(k+1).

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

x₁^(k+1) = c₁₁x₁^(k) + c₁₂x₂^(k) + ... + c_1n-1x_n-1^(k) + c_1nx_n^(k) + d₁
x₂^(k+1) = c₂₁x₁^(k+1) + c₂₂x₂^(k) + ... + c_2n-1x_n-1^(k) + c_2nx_n^(k) + d₂
...
x_n^(k+1) = c_n1x₁^(k+1) + c_n2x₂^(k+1) + ... + c_nn-1x_n-1^(k+1) + c_nnx_n^(k) + d_n
где x⁽⁰⁾ - некоторое начальное приближение к решению.

Таким образом i-тая компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

xi(k+1) = ∑ j=1i-1 cijxj(k+1) + ∑ nj=i cijxj(k) + di , i = 1, ..., n	(1.20)

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности ε в упрощенной форме имеет вид:

|| x ^(k+1) - x ^(k) || ≤ ε.

Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений (см., например, [1, стр.327]).