ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Теоретическое введение

Колебание - это повторяющийся полностью или частично процесс изменения какой-либо физической величины относительно некоторого среднего значения данной физической величины. Существует различные классификации колебаний. Приведем наиболее распространенные.

По типу изменяющейся во времени физической величины различают: механические, электромагнитные, тепловые, звуковые и т.д. колебания. Примером механических колебаний являются колебания маятника (качели), пружины, тепловых - суточное изменение температуры.

По виду временного закона изменения физической величины существуют гармонические (происходящие по закону синуса или косинуса) и негармонические (происходящие по любому другому временному закону, например, пилообразные) колебания. Далее мы будем рассматривать только гармонические колебания.

По характеру изменения физической величины колебания делят на затухающие, которые прекращаются через определенный промежуток времени, и незатухающие, которые существуют в системе бесконечно долго (естественно, это идеализация, реально они не существуют).

Любые колебания имеют определенные характеристики, к которым относятся: амплитуда, период (или говорят о линейной или циклической частоте), начальная фаза, коэффициент затухания колебаний (или часто говорят, например, о декременте затухания).

Характеристики колебаний связаны между собой уравнением колебаний, например для гармонических колебаний:

(I.1)

для затухающих колебаний

(I.2)

где x - мгновенное значение физической величины в данный момент времени t;
X₀ - максимальное значение изменения физической величины - начальная амплитуда колебания;
α - коэффициент затухания, характеризующий быстроту затухания колебаний (если α=0, то колебания являются незатухающими);
(ωt+φ₀) - фаза колебаний, позволяющая определить значение физической величины, совершающей колебания в любой момент времени t.

Величина φ₀ называется начальной фазой, и она определяет значение данной физической величины в начальный момент времени, то есть при t=t₀=0;
ω- циклическая частота, ω=2πν, ν - линейная частота, ν=1/T, T - период колебания, то есть время одного полного колебания. Линейная частота ν измеряется в 1/с (или говорят с^-1), которая в физике называется герцем (Гц) и показывает число колебаний в единицу времени, то есть за 1 секунду. Циклическая частота ω измеряется в рад/с и показывает число колебаний за 2π секунд (π≈ 3,14 радиан или 2π= 360°).

Если колебания происходят только с участием внутренних сил в системе, то говорят о свободных или собственных колебаниях. В противном случае, то есть, если колебания происходят под действием какого-либо внешнего периодического воздействия, говорят о вынужденных колебаниях.

Некоторые характеристики колебаний связаны с параметрами системы, в которой колебания возникают. В случае отсутствия потерь энергии (диссипации) период собственных колебаний определяется формулами Томсона. Они имеют вид, например, для незатухающих механических колебаний:

математического маятника - материальной точки, подвешенной на длинной нерастяжимой нити длиной l и совершающей колебания малой амплитуды (при малых углах отклонения от положения равновесия) в поле силы тяжести Земли, характеризующегося ускорением свободного падения g≈ 9.8 м/с²-

(I.3)

пружинного маятника - тела массой m, подвешенного на пружине жесткостью k (жесткость k численно равна силе, деформирующей данную пружину на единицу длины, т.е. на 1 метр в системе СИ) и совершающего колебания малой амплитуды относительно оси пружины -

(I.4)

Для вынужденных колебаний наблюдается явление резонанса - резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешнего вынуждающего воздействия с частотой собственных (или свободных) колебаний, которые могут возникнуть в данной системе.