2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

        Геодезические системы отсчета. Геодезические системы отсчета (Reference Systems) устанавливают параметры, определяющие фигуру, размеры, гравитационное поле Земли и закрепляют гринвичскую геоцентрическую прямоугольную систему координат.
        Важнейшими параметрами Земли являются: fM_з - произведение гравитационной постоянной на массу; w_з - угловая скорость вращения; a - экваториальный радиус;

- сжатие; c - скорость света в вакууме. Включение скорости света в число параметров обусловлено тем, что современные линейные измерения основаны на определении времени распространения электромагнитных волн - скорость света устанавливает линейный масштаб геодезических построений. В табл. 1 и 2 указаны значения некоторых физических и геометрических параметров.
        Общепризанными (международными) системами отсчета являются IERS (International Earth Rotation Service),  ее европейская подсистема ETRS (European Terrestrial Reference System),   система GRS-80 (Geodetic Reference System, 1980), параметры которой служат основой ряда других систем Европы, Австралии и Америки. В России без интергации с западными странами создана система Параметры Земли 1990 г. -- ПЗ-90.

Таблица 1

Физические параметры Земли

Таблица 2

Геометрические параметры эллипсоидов

        Поверхность и полюса Земли подвержены геодинамическим процессам: ось суточного
вращения движется в теле Земли и перемещается относительно небесных тел. Поэтому
координатная ось Z, как определено рекомендациями Международной службы вращения Земли IERS (International Earth Rotation Service), направлена на точку Условного земного полюса (CTP - Conventional Terrestrial Pole), соответствующему среднему полюсу за 1900-1905 гг., исправленному на нутацию; ось X находится в плоскости меридиана Гринвича, при этом оси X и Y лежат в плоскости экватора и образуют правую систему координат. Начало координатной системы расположено в центре масс Земли. Составной частью координатных систем являются опорные геодезические сети (Reference Frame). Они фиксируют положение координатной системы в теле Земли. Различия разных общеземных координатных систем обусловлены именно особенностями построения и обработки геодезических сетей. В IERS новейшими методами космической геодезии установлена сеть станций ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame). Сети закрепляют начало координат в центре масс Земли с точностью до 10 см, ориентируют ось Z на Условный земной полюс с погрешностью в сотых долях угловой секунды и устанавливают ось X в плоскости меридиана Гринвича до тысячных долей секунды. Со временем геоцентрические координаты пунктов опорных сетей вследствие непрерывного их совершенствования и геодинамических процессов изменяются. Эти изменения могут достигать 1-2 см в год. Поэтому каталоги координат обновляют и указывают их эпоху, например, ITRF-89, ITRF-94 и т.д.
        В 1987 г. Международной ассоциацией геодезии создана подкомиссия для установления европейской системы параметров ETRS (European Terrestrial Reference System). Системе ETRS принадлежат опорные сети EUREF (European Reference Frame), объединяющие в единую систему геодезические сети стран Европы. Вначале эти сети состояли из 35 пунктов, определенных современными методами космической геодезии. К 1989 г. сеть EUREF-89 уже содержала 93 пункта. Развитие геодезических сетей EUREF продолжается.
        К общеземным относится установленная ранее система GRS-80 (Geodetic Reference System, 1980), параметры которой послужили основой ряда других координатных систем Европы, Австралии и Америки. В настоящее время в связи с широким применением спутниковых систем позиционирования в мире получила распространение координатная система WGS-84 (World Geodetic System, 1984).
Она реализует координаты типа ITRF. Начало координат этой системы зафиксировано в центре масс Земли с точностью около 1 м. Ее физические параметры практически соответствуют параметрам системы GRS-80.
        В России без интеграции с западными странами создана система ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г.). Система ПЗ-90 закреплена координатами трех десятков опорных пунктов Космической геодезической сети России, при этом 7 пунктов установлены в Антарктиде. Погрешность взаимного положения пунктов при расстояниях между ними до 10 000 км менее 30 см. Начало координат совмещено с центром масс Земли с точностью около 1 м (Бойков и др., 1993; Параметры Земли 1990).
        Помимо международных, существуют национальные системы отсчета, называемые в нашей стране референцными. Центры их эллипсоидов часто не совмещены с центром масс Земли. Они устанавливают квазигеоцентрические координаты. Например, в системе координат 1942 г. на референц-эллипсоиде Красовского (СК-42) центр эллипсоида смещен с центра масс Земли более, чем на 155 м.
        Положения точки в пространстве, определенные по координатам указанных геоцентрических систем, могут различаться до десятка метров. Различия же координат геоцентрических и квазигеоцентрических систем значительно больше и могут превысить сотню метров.
       

        Элементы кеплеровой орбиты. Положение спутника в геоцентрической системе координат вычисляют по элементам кеплеровой орбиты (рис. 2).
        Спутник, перемещаясь по орбите из южного полушария в северное, пересекает плоскость экватора в точке, называемой восходящим узлом. Двигаясь по эллиптической орбите он проходит перигей - точку орбиты, ближайшую к центру масс Земли. Элементами орбиты являются (Баранов и др., 1986): A - большая полуось эллиптической орбиты; e_к - эксцентриситет орбиты; W - долгота восходящего узла орбиты (отсчитывается в плоскости экватора от направления на точку весеннего равноденствия); w - аргумент перицентра (угол в плоскости орбиты с вершиной в центре масс Земли и между направлениями на перигей и восходящий узел); i - наклон плоскости орбиты к плоскости экватора. Элементы кеплеровой орбиты меняются во времени и должны быть известны на момент позиционирования.


Рис. 2. Элементы кеплеровой орбиты и пространственная пря-моугольная геоцентрическая
система координат: О - центр масс Земли КА - космический аппарат, П - перигей, ВУ -
восходящий узел, g - направление на точку весеннего равноденствия

        Для эллиптической орбиты алгоритм вычислений координат КА на эпоху t следующий.
        1. Вычисление средней аномалии M по формулам
                    M = w_c(t - t_п), w_c = 2p/T, T = 2pA^3/2 /( fM_з)^1/2,
где w_c - угловая скорость обращения спутника на орбите, T - период обращения, t_п - время прохождения через перигей.
2. Вычисление итерациями эксцентрической аномалии E
E - e_к sin(E) = M.
3. Определение радиуса-вектора R
R = A(1 - e_к cos(E)).
4. Вычисление истинной аномалии v (угла в плоскости орбиты между радиусом-вектором и направлением на перигей), аргумента широты u и долготы восходящего узла относительно гринвичского меридиана l по формулам
tg(v/2) = ((1 + e_к)/(1 - e_к))^1/2 tg(E/2),
u = v + w, l = W - w_з t.
5. Определение прямоугольных геоцентрических координат спутника

Алгоритм и формулы упрощаются для круговых орбит, когда их эксцентриситет ek = 0. Тогда радиус-вектор R = A, аргумент широты u = M = w_с(t - t_о) + Mo, где Mo угол, образуемый радиусом-вектором с направлением на восходящий узел орбиты в начальный момент t = t_о.

        Геодезическая система координат. Прямоугольные геоцентрические координаты
пересчитывают в геодезические. Они взаимосвязаны соотношениями:

D²=X²+Y², N = a/(1-e2sin2(B))^1/2, e² = (2- a)a;
где N - радиус кривизны первого вертикала, a - большая полуось, a - сжатие эллипсоида. Широта B вычисляется последовательными приближениями. Однако следует иметь в виду, что геодезические широта B, долгота L и высота над эллипсоидом по нормали к нему H даны относительно того эллипсоида, которым пользуется система спутникового позиционирования. Так, в случае GPS они вычисляются для земного эллипсоида WGS-84.
        Азимуты и зенитные расстояния спутников. Вычисление зенитных расстояний спутников и азимутов направлений на них необходимо для планирования измерений и для того, чтобы знать, где находится спутник в момент наблюдений. Вычисления геодезических азимута Aз и зенитного расстояния Z спутника производятся по формулам:

где индекс i относится к КА, а индекс A - к станции наблюдений, R_Ai - расстояние от станции до спутника. Зенитное расстояние вычисляется по третьему уравнению, азимут - по первым двум. Для наблюдений интерес представляют лишь спутники, зенитные расстояния которых Z<90° (находятся над горизонтам).
        Плоские прямоугольные координаты.
В РФ их вычисляют на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера, в других странах - в проекции UTM (Universal Transverse Mercator), являющейся разновидностью проекции Гаусса-Крюгера. UTM координаты именуют северным (x) и восточным (y) положениями. Вос-точное положение центрального меридиана 500 000 м. Северное положение экватора для объектов северного полушария равно 0, а для объектов южного полушария - 10 000 000 м. Используют шестиградусные зоны. Зоны нумеруют с запада на восток числами от 1 до 60, начиная от меридиана 180° з.д. Номер зоны указывают перед восточным положением. Данная система применяется в диапазоне 80° ю.ш. - 84° с.ш. Если обе проекции отнесены к одному эллипсоиду, то соответствующие UTM координаты (по сравнению с координатами Гаусса-Крюгера) преуменьшены в 0,9996 раза.
        Нормальные высоты.
С вычислениями высот возникают определенные сложности. В западных странах используют высоты, отсчитываемые от геоида - ортометрические высоты:
H^g=Н-z_гео,
где H - высота над эллипсоидом, z_гео - высота геоида.
В Российской Федерации применяют нормальные высоты, отсчитываемые от квазигеоида:
Hg = H - z,
где z - высота квазигеоида. Нормальные высоты, в отличие от приближенных ортометрических, определимы строго. Однако, для их нахождения нужно располагать высотами квазигеоида.