11. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

        Разности фазовых дальностей. В относительных определениях дальности измеряют фазовым методом. Зафиксированную их часть представим в виде:

dP = R - N^.l + d_KA + D_AП + a,

где R - геометрическая дальность от станции до спутника, N - неизвестное число длин
несущих волн l на этой дистанции, d_KA и D_AП - искажения дальности соответственно на
спутнике и в пункте наблюдений, е - влияние остальных источников погрешностей.
Измеренная величина dP содержит неизвестное число N и искажена случайными
коррелированными, некоррелированными и систематическими погрешностями. Поэтому в обработке используют разности значений dP, измеренных на базовой и определяемой
станциях. С этих станций в течение определенного времени в режиме статики наблюдают ряд спутников (рис. 20).

Рис. 20. Наблюдения спутников с двух наземных станций

        Из этих измерений образуют разности трех типов: простые, сдвоенные и строенные.
Разности практически свободны от большинства погрешностей. По ним легче разрешить
неоднозначность. Можно даже совсем исключить из уравнений числа N.
        Разности измерений между станциями. Пусть со станций A и B в одно и то же время t₁ выполнены измерения до спутника КА1 и получены результаты:

dP_A1 = R_A1 - N_A1^.l + d_КA1 + D_AПA + е_A1,

dP_B1 = R_B1 - N_B1^.l + d_КA1 + D_AПB + е_B1,

где индекс A1 указывает на измерения со станции A до КА₁, а индекс B1 - на измерения со станции B до КА₁. В ходе обработки вычисляют разности

P_(A-B)1 = dP_A1 - dP_B1,

P_(A-B)1 = (R_A1-R_B1) - (N_A1-N_B1) ^.l + (D_AПA-D_AПB) + е_(A-B)1.

Это так называемые первые или простые разности (Single-Difference - SD). Они не содержат искажений аппаратуры спутника d_KA. Ослаблены влияния других источников: из разности е_(A-B)1 в значительной степени исключены атмосферные воздействия и погрешности эфемерид. Чем ближе расположены станции A и B, тем полнее компенсированы искажения.

        Разности измерений между спутниками. Предположим, в эпоху t₁ наблюдали не только спутник КА₁, но и КА_2. Из этих измерений образованы первые разности:

P_(A-B)1 = (R_A1-R_B1) - (N_A1-N_B1) ^.l + (D_AПA-D_AПB) + a_(A-B)1,

P_(A-B)2 = (R_A2-R_B2) - (N_A2-N_B2) ^.l + (D_AПA-D_AПB) + a_(A-B)2.

Из них сформированы вторые или сдвоенные разности (Double Difference - DD):

P_(A-B)12 = P_(A-B)1 - P_(A-B)2,

P_(A-B)12 = [(R_A1-R_B1) - (R_A2-R_B2)] - N_AB12^.l + a_(A-B)12,

где введено обозначение

N_AB12 = [(N_A1-N_B1) - (N_A2-N_B2)].

          Вторые разности свободны как от искажений на спутнике, так и от искажений на наземных станциях. В большой степени скомпенсированы влияния всех остальных источников. Остаточные погрешности е(A-B)₁₂ являются почти случайными. Они подлежат фильтрации обработкой по МНК. Числа N_ABij значительно меньше чисел N_Ai и N_Bj, что облегчает разрешение неоднозначности. Вторые разности - основной материал для обработки.
           Естественно, наблюдают не два спутника, а все видимые в данную эпоху на допустимых
высотах над горизонтом. Если, например, видно шесть спутников (обозначим их номерами), то могут быть образованы разности между первым и каждым последующим спутниками: 1-2, 1-3, 1-4, 1- 5 и 1-6.
        Разности между эпохами наблюдений. Наблюдениями в одну эпоху не ограничиваются. Пусть выполнены измерения в эпоху t₁ и такие же измерения в эпоху t₂. В каждую эпоху были сформированы вторые разности:

P(t₁)_(A-B)12 - в эпоху t₁ ,

P(t₂)_(A-B)12 - в эпоху t₂ .

Образуем третьи, иначе строенные разности (Triple Difference - TD):

P(t₂-t₁)₁₂ = P(t₁)_(A-B)12 - P(t₂)_(A-B)12,

P(t₂-t₁)₁₂ = [(R_A1-R_B1)-(R_A2-R_B2)]_t2 - [(R_A1-R_B1)-(R_A2-R_B2)]_t1 + e_t12.

В этих разностях нет чисел N и задача решается однозначно.

Чему равны разности дальностей (R_Ai-R_Bi)? Величины (R_Ai-R_Bi) присутствуют в
уравнениях выше. Раскроем их.
Векторы R_A и R_B определяют положения станций A и B:

R_A = (X_A, Y_A, Z_A)^Т, R_B = (X_B, Y_B, Z_B)^Т.

Пусть базовой будет станция А. Со станцией В она соединена вектором D.

D = (D_X, D_Y, D_Z)^T = (X_B - X_A, Y_B - Y_A, Z_B - Z_A)^T

Введем:

• средний вектор

`R<sub>AB</sub> = (R<sub>A</sub> + R<sub>B</sub>)/2 = (`X_AB, `Y<sub>AB</sub>, `Z_AB)^T,

`X<sub>AB</sub> = (X<sub>A</sub> + X<sub>B</sub>)/2, `Y_AB = (Y_A + Y_B)/2, `Z_AB = (Z_A + Z_B)/2;

• среднее значение дальностей до i-го КА от станции А и В

`R_ABi = (R_Ai + R_Bi)/2;

• вектор положения i-го спутника

R_i = (X_i, Y_i, Z_i)^Т

Тогда можно записать:

R_A = `R<sub>AB</sub> - D/2,         R<sub>B</sub> = `R_AB + D/2.

R_Bi = R_i - R_B = R_i - `R_AB - D/2.

Возводя в квадрат, получаем:

R_Ai² = R_i² + `R<sub>AB</sub><sup>2</sup> + D<sup>2</sup>/4 - 2R<sub>i</sub><sup>T`</sup>R_AB + R_i^TD - `R_AB^TD,

R_Bi² = R_i² + `R<sub>AB</sub><sup>2</sup> + D<sup>2</sup>/4 - 2R<sub>i</sub><sup>T`</sup>R_AB - R_i^TD + `R_AB^TD.

Вычитая из верхнего выражения нижнее, имеем:

R_Ai² - R_Bi² = 2(R_i^T - `R_AB^T)D

С другой стороны, справедливо соотношение:

R_Ai² - R_Bi² = R_Ai² - R_Bi² = 2(R_Ai - R_Bi)`R_ABi.

Приравнивая в двух последних формулах правые стороны, находим:

(R_Ai - R_Bi) = (R_i^T - `R_AB^T)^.D/R_ABi.

В подробной записи эта формула имеет следующий вид:

(R_Ai - R_Bi) = a_iD_X + b_iD_Y + c_iD_Z,

где обозначено:

a_i = (X_i -`X<sub>AB</sub>)/`R_ABi, b_i = (Y_i -`Y<sub>AB</sub>)/`R_ABi, c_i = (Z_i -`Z<sub>AB</sub>)/`R_ABi.

       Таким образом, разность (R_Ai-R_Bi) зависит от составляющих вектора D и может быть
использована для их нахождения.
Для вычисления коэффициентов a_i, b_i, c_i должны быть известны приближенные координаты станций.           Погрешности в приближенных координатах на конечном результате сказываются слабо. Так, смещения на 10 м в положении станции изменяют длину базиса менее, чем на 10^-6. Приближенные координаты можно определить последовательно: сначала грубо по дальномерным кодам, затем более точно по третьим разностям.
       Однако, следует помнить, что для передачи координат на другие пункты, положение базовой станции A должно быть известно точно, ибо погрешности в ее координатах будут
систематически сдвигать всю сеть. Идентичные выражения можно записать для вторых и третьих разностей. Для вторых разностей имеем:

(R_A1 - R_B1) - (R_A2 - R_B2) = a₁₂D_X + b₁₂D_Y + g₁₂D_Z,

a₁₂= a₁ - a₂, b₁₂ = b₁ - b₂, g₁₂ = c₁ - c₂.

        Для третьих разностей получаем:

[(R_A1- R_B1)-(R_A2- R_B2)]_t2 - [(R_A1- R_B1)-(R_A2- R_B2)]_t1 = k₁₂D_X +x₁₂D_Y +h₁₂D_Z,

k₁₂ = a₁₂(t₂) - a₁₂(t₁), x₁₂ = b₁₂(t₂) - b₁₂(t₁), h₁₂ = g₁₂(t₂) - g₁₂(t₁).

        Во всех формулах участвуют координаты определяемых станций. Поэтому
рассматриваемые решения выполняют последовательными приближениями. Могут быть
десятки итераций.

        Решения по третьим разностям. Определим базовый вектор по третьим разностям. Решение выполним по МНК. Для простоты и наглядности третьи разности будем рассматривать как величины непосредственно измеренные, а остаточные погрешности e_t1i - случайными. Для пары спутников 1-2 составим уравнения поправок:

v₁₂ = k₁₂D_X + x₁₂D_Y + h₁₂D_Z - P(t₂-t₁)₁₂.

        Сколько будет таких уравнений? Допустим, n спутников наблюдали в m эпохах. Каждую
последующую эпоху сопоставляли с первой и образовали m-1 разность между эпохами. В каждую эпоху вычисляли разности между спутниками 1 и 2, 1 и 3, ..., 1 и n и образовали n-1 разность. Тогда всего уравнений будет

q = (m-1)(n-1).

         Если 7 спутников наблюдали в 2 эпохи, то q=6. В статике наблюдают 1 час, фиксируя
измерения через 15 секунд. Всего 241 эпоха. Если при этом наблюдали 4 спутника, то
уравнений будет q=720. Уравнения поправок запишем в матричном виде:

V = AD - P,

где V - вектор поправок, A - матрица, содержащая коэффициенты k, x, h, P - вектор разностей P(t_i-t₁)_1j, i = 2, ..., m, j = 2, ..., n.
Вероятно, третьи разности, отнесенные к разным эпохам, имеют разную точность. Должна быть определенная идея учета их весов. Для простоты полагаем, что все они равноточны и вектор D находим из решения системы нормальных уравнений:

A^ТAD = A^ТP.

          Теперь можно перейти к более точному решению по вторым разностям, предварительно уточнив координаты станции В:

R_B = R_A + D .

        Решения по вторым разностям. Определим базовый вектор по вторым разностям. Вновь для простоты полагаем измерения равноточными, а остаточные погрешности е_(A-B)1i - случайными. Решая по МНК, попытаемся найти поправки во вторые разности. Пусть в m эпохах наблюдают одни и те же n спутников. Опуская в уравнениях вторых разностей индексы A и B, для пары наземных станций A и B получим следующие уравнения поправок:

v₁₂ = a₁₂D_X + b₁₂D_Y + g₁₂D_Z - l^.N₁₂ - P₁₂

... ... ... ... ... ...

Такие уравнения можно составить для каждой эпохи. Общее число уравнений будет

q = m(n - 1).

В компактной записи уравнения поправок имеет вид:

V = AD - lBN - P,

где V - вектор поправок, A - матрица с коэффициэнтами a,b,g, вектор B = (E, ..., E)^Т и состоит из единичных матриц E n (n-1) единицами на главной дигонали, вектор чисел неодназначности N = (N₁₂, ..., N_1n)^Т, вектор P = (P₁₂, ..., P_1n, ...)^Т содержит вторые разности измеренных фазовых дальностей на все эпохи, l - длина волны. Искомыми являются векторы D, N и V.
Применяя МНК и составляя нормальные уравнения, получим следующие варианты решений:

D = (A^ТA - A^ТBB^ТA/m)^-1.(A^ТP - A^ТBB^ТP/m),

D = (A^ТA)^-1(A^ТP + lA^ТBN).

       Из первых двух уравнений найдем вектор N. В нем каждое число N состоит из целой и
дробной частей. Например, N₁₂=5140,62, N₁₃= 2868,77. Если в дальнейшем эти числа
использовать без изменений, то из третьего или первого уравнений получим так
называемое плавающее решение (float). Если после третьих разностей координаты наземных станций не корректировались, то плавающее решение и решение по третьим разностям дадут одни и те же результаты. По своей сути N целые числа. Поэтому найденные из второго уравнения числа N должны быть округлены до целых значений. Так, получим N₁₂ = 5141, N₁₃ = 2869 и т.д. Округленные до целых числа N рассматриваем как величины известные, подставляем их в третье уравнение и вычисляем составляющие базового вектора D. Будет получено так называемое фиксированное решение (fixed). Надо использовать только фиксированные решения. Чтобы избежать плавающих решений, рекомендуют повторить обработку или перемерить вектор.

        Выделение оптимального решения. Плавающие и фиксированные при разных наборах чисел неоднозначности N решения дадут несколько различающиеся результаты. Эти решения выполняют на несущей волне L1 длиной l₁. В двухчастотных приемниках дополнительно применяют волну l₂ и комбинированные волны l_ион, l_сум, l_раз. Из всех решений должно быть выделено одно наилучшее. О качестве результатов и правильности выбора чисел N можно судить по ковариационным матрицам и дисперсиям погрешностей, получаемым в ходе обработки. Для дисперсии погрешностей равноточных измерений m² имеем:

m² = V^ТV/r,

где r - число избыточных измерений, V - вектор поправок. Число избыточных данных r равно разности количеств обрабатываемых измерений и определяемых параметров. В простейшем случае для каждого искомого вектора определяемыми являются 3 его составляющие и n-1 неизвестное число N. Поэтому

r = m(n - 1) - (n + 2).

Чем дисперсии меньше, тем качество измерений выше. Однако, m² вычисляют по
результатам обработки. Полученные значения являются лишь приближенными оценками
дисперсий. Если вычисленные оценки различаются, то это еще не означает, что измерения в самом деле разной точности. Чтобы выяснить, действительно ли эти оценки существенно различны, применяют критерий Фишера:

F = m₂²/m₁²,

где индексом 1 помечена наименьшая, а индексом 2 следующая по возрастанию дисперсии. Полагаем, что во всех вариантах решений избыточное количество данных одно и то же. Критерием пользуются следующим образом. Вычисляется отношение F. По числу r и заданному уровню значимости a из таблиц F-распределения находят число Fтаб. Если F > Fтаб, то принимается гипотеза, что действительно m₁² < m₂² и, следовательно, первый результат лучше второго. Например, наблюдали n=7 спутников в эпохи m=2 и получили F=3,25. Для числа избыточных данных получаем r=3. По таблицам при уровне значимости a=0,05 находим Fтаб=9,28. Таким образом, нет оснований считать, что полученные результаты различаются по точности. В то же время при прежних значениях F и n, но m=10, будет r=51, Fтаб = 1,60 и гипотеза о превосходстве первого результата перед остальными принимается. Ниже приводим выдержку из таблиц F-распределения для уровня значимости a=0,05:

        Уточненные решения статического позиционирования. Выше, чтобы пояснить лишь суть задачи, рассматривались приближенные решения: предполагалось, что остаточные погрешности во вторых разностях е_(A-B)1i и в третьих разностях e_t1i носили случайный характер, а сформированные разности рассматривались как непосредственно измеренные равноточные величины. По ряду причин это не совсем так.
         Во-первых, частота эталонных генераторов изменяется во времени с некоторыми скоростью и ускорениями. Поэтому временные задержки сигналов d_КA e D_AП на орбитальных и наземных станциях не являются постоянными.
        Волна в атмосфере (тропосфере) распространяется со скоростью v = c/n, где n > 1 и
существенно зависит от конкретной трассы. Дальность по сравнению с вакуумом изменится на величину Dn^.R, где Dn интегральное отличие от единицы показателя преломления на пути распространения сигнала в атмосфере.
       Ионосферные задержки измерениями на двух волнах и обработкой на комбинированной
волне l_ион исключаются не полностью. Надо учитывать искажения в ионосфере D_ион в
зависимости от трассы и приемной аппаратуры, и особенно от длины базисной линии D.
       Более строгие рассуждения показывают, что к неизвестным D_X, D_Y, D_Z, N₁₂, ..., N_1n добавятся новые дополнительные искомые параметры. Во-вторых, действительно измеренными являются лишь фазовые циклы Ф. Чтобы перейти от фазовых циклов к фазовым дальностям, необходимо Ф умножить на длину несущей волны l. Точность и коррелированность измерений фазовых циклов Ф характеризует их ковариационная матрица

K_Ф = m ²_ф Q_Ф,

где m ²_ф - дисперсия единицы веса, выраженная в фазовых циклах, Q_Ф- матрица, содержащая обратные веса и коэффициэнты корреляции измеряемых величин. Если измерения равноточны, то Q_Ф=Е, где Е - единичная матрица.
       Вторые и третьи разности формируют из исходных измерений. Обозначим матрицы, содержащие фазовые циклы и эти разности в фазовых циклах, соответственно через Ф, D и . Тогда получим:

D = T₂Ф,
= T₃Ф,

где через T₂ и T₃ обозначены соответствующие матрицы трансформирования. Для
ковариационных матриц D и С соответственно имеем (см. раздел 10):

K_D = m ²_ф T₂ Q_ф T₂^T = m  ²_ф Q_D ,

K = m ²_Ф T₃ Q_Ф T₃^T = m ²_ф Q .

В общем случае вторые и третьи разности зависимы, Q_D№Е, Q№Е. Поэтому обработка по МНК должна выполняться не под условием минимума значений V^TV, а соответственно под условиями

V^TQ_D ^-1V = min и V^TQ ^-1V = min.

Решения по МНК усложнятся. Точность результатов будет зависеть как от способов
позиционирования, так и от качества и сложности приобретаемых программных алгоритмов. Ковариационные матрицы Q_D и Q играют важную роль в оценке точности результатов. По аналогии с PDOP используют геометрический фактор RDOP (Relative Dilution Of Precision). Он равен квадратному корню из суммы диагональных элементов матрицы (A^TQ_D A)^-1, где A матрица, содержащая коэффициенты a , b , g в поправок для вторых разностей.

        Кинематическое позиционирование. Измерения начинают с инициализации. Рассмотрим инициализацию способом установки приемников на двух пунктах с известными координатами. Расстояние между этими пунктами выбирают сравнительно небольшим: трассы радиоволн от спутников до приемников должны находиться в примерно равных условиях. Минимальное число наблюдаемых спутников - четыре. По определенным значениям фазовых дальностей будут сформированы три вторые разности и вычислены их числа неоднозначности. Например, для числа неоднозначности второй разности наблюдений со станций A и B спутников 1 и 2 получим:

N_AB12 = {(R_A1 - R_B1) - (R_A2 - R_B2) - P_(A - B)12}/l ,

где P_(A - B)12 - вторая разность соответствующмх фазовых дальностей, l - длина несущей волны, R_ij- геометрическое расстояние от i-ой станции до j-го спутника, вычисляемое по известным координатам станции и спутника. По смыслу N - целые числа. Поэтому вычисленное значение N_AB12 округляют до целого.
        Позиционирование начинают после инициализации. Для этого приемник станции A оставляют в неизменном положении, а приемник со станции B перемещают в текущую определяемую точку K. Оба приемника ведут непрерывные измерения до одних и тех же спутников. Для вторых разностей фазовых дальностей, определяемых со станций A и K до спутников 1 и 2, получим:

P_(A - K)12 = (R_A1 - R_K1) - (R_A2 - R_K2) - N_AB12 l + e_(A - K)12.

        Выражая разности геометрических дальностей через соответствующие вектора между этими станциями

D = (X_K - X_A, Y_K - Y_A, Z_K - Z_A)^T

и принебрегая остаточными искажениями e_(A - K)12 получим:

a₁₂(X_K - X_A) + b₁₂(Y_K - Y_A) + g₁₂(Z_K - Z_A) - N_AB12 l - P_(A - K)12 = 0.

Идентичные уравнения будут образованы и для вторых разностей P_(A - K)13 и P_(A - K)14
фазовых измерений до спутников 1-3 и 1-4. Решив систему из трех уравнений, определим
составляющие вектора D, а затем координаты пункта K:

R_K = R_A + D.

Наблюдать целесообразно более четырех спутников. Тогда обработку можно вести по
МНК, а при образовании срывов в наблюдениях какого-то спутника - восстановить или
исключить поврежденные измерения.