10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ АБСОЛЮТНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

Решение линейной пространственной засечки. В вычислениях используют измеренные псевдодальности

P_i = R_i + D_АП + е_i      (i = 1,..., n),

где P - псевдодальность, R - геометрическая дальность, D_АП - искажения дальности R в пункте наблюдений, е - влияние всех остальных погрешностей, которые в данном случае рассматриваем как случайные, i - текущий номер наблюдаемого спутника, причем nі4. Представим искомые координаты в виде:

X = X_o + x, Y = Y_o + y, Z = Z_o + z,

где X_o, Y_o, Z_o - известные приближенные значения координат, x, y, z - поправки в приближенные координаты. Именно эти поправки предстоит найти. Геометрическая дальность до i-го спутника

R_i = [(X_i-X_o-x)² + (Y_i-Y_o-y)² + (Z_i-Z_o-z)²]^1/2 .

Преобразуем данное выражение следующим образом:

R_i = R_oi [1 -2(a_ix + b_iy + c_iz)/R_oi + (x² + y² + z²)/R_oi²]^1/2,

где обозначенно через

R_oi = [(X_i-X_o)² + (Y_i-Y_o)² + (Z_i-Z_o)²]^1/2 ,

a_i = (X_i-X_o)/R_oi, b_i = (Y_i-Y_o)/R_oi, c_i = (Z_i-Z_o)/R_oi.

Выражение в квадратных скобках в правой части формулы для R_i разложим в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейной частью ряда:

[1 - t]^1/2 = 1 - t/2 + ...

Это сделать возможно: поправки в координаты малые величины и всеми членами, содержащими x/R_oi, y/R_oi, z/R_oi в степенях выше первой, можно пренебречь.
Чтобы ослабить влияния погрешностей е, исправим измеренные псевдодальности поправками v. Поправки будем искать по методу наименьших квадратов. Для простоты рассуждений примем, что все псевдодальности измерены с одинаковой точностью. Решение по МНК выполняется под условием минимума суммы квадратов поправок:
Sv² = min.
Тогда для уравнения i-ой поправки можно записать:

v_i = -a_ix - b_iy - c_iz + D_АП - l_i,

где  l_i,=Р_i+Ro_i зависит от результата измерений Р_i.

Выделим матрицы и векторы утолщенными буквами:

V=(v₁, v₂,..., v_n)^т; U=(x, y, z, D_AI)^т; l=(l₁, l₂,..., l_n)^т.

Для системы уравнений поправок имеем:

V = GU - l .

     Как известно, решение по МНК приводит к условию G^тV = 0. Отсюда получаем систему нормальных уравнений, решая которую определяем искомые параметры U:

G^тGU = G^тl          и          U = (G^тG)^-1 G^тl

      Обратим внимание на следующее. Матрица G зависит от приближенных значений координат X_o, Y_o, Z_o , которые должны быть известны. Поэтому решение линейной засечки по псевдодальностям выполняется последовательными приближениями, уточняющими значения искомых параметров U.

        Геометрический фактор. Система нормальных уравнений имеет решение, если определитель матрицы ее коэффициентов G^тG не равен нулю:

det(G^тG) /= 0 .

        Чем больше определитель отличается от нуля, тем лучше линейная засечка и тем точнее решение. В этом проявляется суть геометрического фактора засечки.
Важно выяснить, при каких обстоятельствах засечка плохая или даже совсем нет решения. Это можно наглядно показать для случая, когда нет избыточных измерений и когда четыре параметра x, y, z и D_АП
определяют по наблюдениям только четырех спутников. Тогда

(G^тG)^-1 = G^-1(G^т)^-1 и U = G^-1l .

         Решения не будет, когда матрица G выражена и определитель det(G)=0. Посмотрим, когда это произойдет. Допустим, что дальности до спутников одинаковы и все R_oi =  R_o. Как известно, множитель, общий элементам какого-либо столбца (строки), можно вынести за знак определителя. Получаем:

det(G) = - (1/R_o³) W ,

где

      В правой части под знаком определителя находятся координаты четырех спутников. Начало счета координат перенесено в определяемый пункт. Как известно, в такой записи определитель W равен шестикратному объему треугольной пирамиды, в вершинах которой расположены эти четыре спутника. Отсюда ясно, что определитель det(G) тем больше, чем больше объем этой пирамиды. Вероятно, объем будет наибольшим, когда три спутника расположатся в плоскости горизонта в вершинах равностороннего
треугольника, в центре которого находится наземная определяемая станция, а четвертый спутник будет в зените над станцией. Практически такой случай невозможен, ибо спутники наблюдают лишь тогда, когда они над горизонтом не ниже 10°.
      С другой стороны W = 0 означает, что все четыре спутника лежат в одной плоскости. Однако, не следует забывать, что определитель W записан при допущении, что расстояния от станции до спутников одинаковы. Поэтому в действительности определитель станет равным нулю, когда все КА окажутся в плоскости основания прямого кругового конуса, вершина которого в наблюдаемом пункте. В этом
случае линейная засечка решения не имеет. Решение будет тем хуже, а геометрический фактор тем больше, чем ближе спутники к одной плоскости. Практически при наблюдении четырех спутников 1,6 <ГФ < бесконечности (Алексеев, 1993). В измерения следует включать не четыре, а все видимые на допустимой высоте над горизонтом спутники.
        Оценка геометрического фактора. Чтобы понять, как вычисляют ГФ, ознакомимся с некоторыми положениями оценки точности измерений при обращении к МНК. Вектор параметров U = (x, y, z, D_АП)^т вычислен по данным вектора измерений l = (l₁, l₂,..., l_n)^т. Его элементы содержат случайные погрешности. Точность вектора характеризует симметричная ковариационная матрица K_l. Верхняя ее часть имеет вид:

      На главной диагонали расположены дисперсии погрешностей величин li. Недиагональные элементы на пересечении i-ой строки (столбца) и j-го столбца (строки) определяют корреляционные связи и коэффициент корреляции r_ij погрешностей в величинах li и lj. Для равноточных и некоррелированных n величин, когда недиагональные элементы нули, все s² одинаковы и равны дисперсии m², характеризующей точность измерений псевдодальностей, E - единичная матрица с n единицами на главной диагонали, ковариационная матрица принимает простой
вид:

K _l = m²E

       В общем случае задача по нахождению ковариационной матрицы может быть сформулирована следующим образом. Случайный вектор Y (вектор, отягощенный случайными погрешностями) вычисляется через другой случайный вектор l, ковариационная матрица которого K _l , по формуле

Y = Al + b

где матрица A и вектор b имеют постоянные элементы. Тогда ковариационная матрица
K _у вектора Y будет иметь вид:

K_y = AK_lA^т

По этой формуле для ковариационной матрицы K_u вектора U в случае равноточных и
некоррелированных измерений получают:

K_u = m²Q, где Q = (G^тG)^-1.

Для дисперсии s_i² i-го элемента вектора U имеем:

s_i² = m²Q_ii ,

где Q_ii - диагональный элемент матрицы Q, расположенный на пересечении ее i-х строки и столбца.
Соответственно для СКП координат х, у, z, являющихся первыми тремя элементами вектора U, имеем:

s_x = m Q₁₁, s_y = m Q₂₂, s_z = m Q₃₃

      Точность положения точки в трехмерном пространстве характеризуют средней квадратической погрешностью положения, вычисляемой по формуле

s_p = (s_x² + s_y² + s_z²)^1/2 или s_p = m (Q₁₁ + Q₂₂ + Q₃₃)^1/2 .

      Пользователя чаще интересует смещение определяемого пункта не в трехмерном пространстве, а на земной поверхности. Если точка сдвигается в трехмерном пространстве по координатным осям на величины x, y, z, то это приводит к изменению геодезических широт, долгот и высот на величины dB, dL, dH и смещению точки вдоль меридиана на отрезок m, перпендикулярно меридиану на отрезок n, а по высоте на величину h. При этом

m = (M + H)dB, n = (N + H)cosB dL, h = dH

где М и N - радиусы кривизны соответственно меридиана и первого вертикала земного эллипсоида. Обозначим через V = (m, n, h, D_AI)^T. Связь между векторами U и V будет:

V = ФU.

       Эта формула показывает, как смещения в трехмерном пространстве влияют на сдвиг в
горизонтальной плоскости на некоторой высоте Н над эллипсоидом. Матрица Ф имеет вид:

      Для ковариационной матрицы Г вектора V и дисперсий элементов этого вектора s_i² получаем:

Г= m² ФQФ^T, s_i² = m² Г_ii.

     Соответственно для СКП смещений вдоль меридиана, перпендикулярно ему и вверх по вертикали имеем:

s_m = m Г₁₁, s_n = mГ₂₂, s_h = mГ₃₃

      Для СКП положения точки в горизонтальной плоскости и в пространстве получим:

s_г = m (Г₁₁ +Г₂₂)^1/2,

s_p = m (Г₁₁ + Г₂₂ + Г₃₃)^1/2.

      Геометрический фактор определяется соотношением:

ГФ = s_i /m

Соответственно тому, какие использованы s_i, будут определены разные составляющие ГФ. Обычно оценивают ГФ положения точки в пространстве (s_p), на горизонтальной плоскости (s_r) и по высоте (s_h). Часто встречается ГФ в английской аббревиатуре:

GDOP = (Q₁₁ + Q₂₂ + Q₃₃ + Q₄₄)^1/2 = (Г₁₁ + Г₂₂ + Г₃₃ + Г₄₄) ^1/2,

VDOP = Г₃₃ ,

TDOP = Г₄₄ .

        DOP (Dilution of Precision) - обозначает уменьшение точности; первые буквы G (Geometrical - все составляющие), P (Position - положение в пространстве), H (Horizontal - на горизонтальной плоскости), V (Vertical - по высоте), T (Time - во временных задержках) говорят, о каком уменьшении точности идет речь. ГФ становится меньше при наблюдении более 4 спутников. Основным показателем ГФ является PDOP. Для оценки качества засечки пользуются следующей шкалой:

        Распределения геометрического фактора. Изучены частоты w распределения геометрического фактора на земном шаре (Алексеев, 1993). Моделировали местоопределения в течение суток с интервалом 0,5 часа в точках поверхности Северного полушария, расположенных через 3° по широте и 3°/cosB по долготе. Рельеф учитывали по карте масштаба 1:100 000. Часть результатов исследований отражена на диаграммах рис. 19. На открытой местности геометрический фактор изменяется в пределах: 1,6 < ГФ < бесконечности. Диаграммы рис. 19а показывают в процентах возможность позиционирования, когда ГФ < 4, 7 и 10 и когда в наличии разное количество КА. Как видно, 24 спутника на открытой местности обеспечивают
надежное определение координат. При уменьшении числа спутников до 18 точность падает, а местоопределения при ГФ <  4 возможны менее чем в 70% случаев. После отключения половины (12) спутников нарушается непрерывность определений, ГФ > 10, местоопределения с высокой точностью становятся невозможными, а в 50% случаев задача не имеет решения.
Надежные определения имеют место при углах закрытия горизонта 100. С увеличением этих углов точность определений понижается. При углах 30° маловероятны ГФ < 4 и определения с высокой точностью практически не возможны; при углах 40° задача решения не имеет (рис. 19б). В горной местности из-за больших углов закрытия горизонта условия позиционирования ухудшаются. Так, точность в Карпатах может снизиться в два-три раза, а на Военно- Грузинской дороге - еще больше (рис. 19в).
         На широтах менее 200 и высотах над горизонтом выше 300 имеет место практически нулевая вероятность наблюдений более 4 ИСЗ (Акимов, Кузьмин, 1996).
В GPS обращение спутников синхронно с вращением Земли, поэтому в определенных точках земной поверхности в одно и то же время суток КА создают одинаковый геометрический фактор.
Образуются области с пониженными значениями ГФ. Этого недостатка нет в ГЛОНАСС, где выбранная высота орбиты создает непрерывное изменение конфигурации созвездий КА над одним и тем же географическим местом для одного и того же времени, периодически повторяясь через каждые 7 суток (Салищев, 1995).
Совместное использование созвездий ГЛОНАСС и GPS гарантирует как минимум 4 спутника, находящихся над горизонтом выше 300 (Акимов, Кузьмин, 1996).

      Рис. 19. Распределения геометрического фактора в различных ситуациях позиционирования
а) на открытой местности при 24 (а1), 18 (а2) и 12 (а3) спутниках;
б) для углов закрытия горизонта 10° (б1), 20°(б2), 30° (б3), 40° (б4);
в) на дорогах Санкт-Петербург-Кингисепп (в1), Мукачево-Черновцы (в2), Военно-Грузинской (в3)

        Дифференциальные поправки в псевдодальности. Поправки формируют на базовой станции A сравнением геометрических дальностей R_Ai , вычисляемых по координатам наземной станции и i-го спутника, с измеренными псевдодальностями P_Ai.

P_Ai = R_Ai + D_AПA + d_КAi + e_Ai,

где D_AПA, d_КAi, e_Ai искажения, внесенные соответственно станцией A, спутником i и прочими источниками. Для поправки запишем:

D P_Ai = R_Ai - P_Ai = - D_AПA - d_КAi - e_Ai.

Важно, что поправки - малые величины и удобны для трансляции. На станции B исправленная псевдодальность ` P_Bi все еще содержит аппаратурные задержки и остатки прочих искажений:

P_Bi = P_Bi + D P_Ai = R_Bi + (D_AПB - D_AПA) + (e_Bi - e_Ai).

Для уравнения i-ой поправки, как и в случае решения линейной пространственной засечки в автономном режиме (см. начало раздела 10), получим:

v_i = - a_ix - b_iy - c_iz + (D_AПB - D_AПA) - l_i,

где l_i = P_Bi - R_ОBi, R_ОBi - приближенное значение R_Bi, x, y, z - поправки в приближенные
координаты станции B. Чтобы найти четыре неизвестные величины - x, y, z и (D_AПB - D_AПA), нужно отнаблюдать не менее четырех спутников.
        Дифференциальные поправки в фазовые дальности. На базовой станции A по наблюдениям i-го спутника определена часть фазовой дальности, которую представим в виде:

dP_Ai = R_Ai - N_Ai l + d_КAi + D_AIA + e_Ai

где P_Ai - геометрическая дальность от станции до спутника, N_Ai - неизвестное число
неоднозначности, d_КAi , D_AПA, e_Ai - искажения, внесенные аппаратурой спутника, наземной станции и прочими источниками. Используя кодовые измерения и геометрические дальности, можно оценить число неоднозначности. Пусть этой оценкой будет целое число К_Ai . В общем случае К_Ai не равно N_Ai. Фазовую дальность приближенно можно представить в виде:

P'_Ai = dP_Ai + K_Ai l .

Тогда для дифференциальной поправки, которая будет малой величиной, получим:

D P_Ai = R_Ai - P'_Ai = R_Ai - dP_Ai - K_Ai l .

Подставив значение dP_Ai будем иметь:

D P_Ai = (N_Ai - K_Ai) l - d_КAi - D_AПA - e_Ai

На подвижной станции В исправленные результаты измерений dP_Вi имеют вид:

dP_Bi = dP_Bi + D P_Ai = R_Bi - (N_Bi - N_Ai + K_Ai) l + (D_AПB - D_AПA) + (e_Bi - e_Ai).

Отсюда, для уравнения i-ой поправки получаем:

v_i = - a_ix - b_iy - c_iz - N_ABi + (D_AПB - D_AПA) - l_i,

где N_ABi = (N_Bi - N_Ai + K_Ai), l_i = ` dP_Bi - R_OBi, R_OBi - приближеннок значение R_Bi. Следовательно, предстоит найти поправки х, у, z, в приближенные координаты станции В, аппаратурные искажения (D_AПB - D_AПA) и определить методом OTF целое число N_ABi