2.1. Классическое определение вероятности

   (2.1)

    (2.2)

2.2. Статистическое определение вероятности

Пусть А - случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Проведем это испытание n раз и пусть событие А произошло m раз. Составим отношение
P·(A)=. Оно называется относительной частотой события А. Эта частота обладает свойством устойчивости: с увеличением количества опытов она приближается к некоторому постоянному числу, стабилизируясь около него. Данный факт служит основой для еще одного определения вероятности - статистического.
Определение 2.6.Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.
Таким образом, относительная частота приближенно равна вероятности и тем точнее, чем больше число испытаний. Поэтому на практике поступают следующим образом. Чтобы найти вероятность изготовления данным станком годной детали, проверяют некоторую партию, например, из 200 деталей и определяют количество годных. Допустим, их количество - 190. Относительная частота P·(A)=.Это число и принимают приближенно за вероятность нормальной работы станка.

2.3. Геометрические вероятности

   Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень разбита на 4 сектора и вращается вокруг центра. Стрелок стреляет в мишень один раз. Какова вероятность,что он попадет в сектор ОАВ ?Здесь классическое определение не годится, так как каждое событие изображается точкой круга, а их - бесконечное множество. В этом случае вероятность попадания в сектор ОАВ будет равна отношению площади сектора ОАВ к площади всего круга.
. Геометрическое определение вероятности события формулируется следующим образом.
Определение 2.7. Вероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий.
В качестве меры, как правило, выступают длина, площадь и объем.
Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.
Пример 37. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К ,С , О, М. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность, что получилось слово "Москва"?
Решение. Обозначим событие А: "Получилось слово "Москва"". По формуле (2.1) . Найдем n - общее число исходов. Если мы раскладываем 6 карточек в ряд, то число всевозможных вариантов будет равно количеству перестановок из шести элементов: n = Р₆ = 6! = 1·2·3·4·5·6=720. А благоприятный исход всего один - когда получилось слово "Москва". Итак, m = 1,
.
Ответ: 1 / 720.
Пример 38.В урне 14 белых и 6 черных шаров. Из нее наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар - черный.
Решение.Пусть А:"Извлечен черный шар". Общее число исходов n = 20, благоприятных m =6.
Ответ: 0,3
Пример 39. Из букв слова "событие" наугад извлекаются и раскладываются в ряд 3 буквы. Какова вероятность, что получится слово "быт"?
Решение. , m =1, .
Ответ: 1 / 210.
Пример 40. Окрашенный деревянный куб с ребром 10 см распилен на кубики с ребром 2 см.Кубики перемешали и наугад извлекли 1 кубик. Какова вероятность, что он имеет
а) три окрашенные грани;
б) две окрашенные грани;
в)одну окрашенную грань;
г) не окрашен.
Решение.Каждое ребро куба разбито на 5 частей, значит, всего кубиков 5³ = 125.
Событие А: "У кубика 3 окрашенных грани". Такие кубики находятся в вершинах куба, их 8 штук, поэтому p(A)= 8/125.
В: "У кубика 2 окрашенных грани". Вдоль каждого ребра имеется по 3 таких кубика, всего их - 3 ·12 = 36. P(B)= 36/125
С: "У кубика 1 окрашенная грань", m = 9 · 6 = 54, P(C)= 54/125.
D: "Кубик не окрашен". m = 27, P(D)= 27/125.
Заметим, что все эти вероятности в сумме дают 1 и образуют полную группу событий.
Ответ:
Пример 41.В ящике перемешаны 10 синих и 8 зеленых носков. Наугад вынимаются 2 носка. Какова вероятность, что они:
а)оба синие;
б)одного цвета;
в) разных цветов ?
Решение. События, вероятность которых надо найти в пунктах а), б), в) обозначим соответственно А, В, С. Поскольку во всех трех случаях из 18 носков выбирается 2, то общее число исходов Число благоприятных исходов в первом случае , во втором - по правилу суммы = 73, в третьем - по правилу произведения m = 10 · 8 = 80. Находим: Ответ: 0,3; 0,48; 0,52
Пример 42. В коробке 5 красных и 7 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Найти вероятность того, что два из них - красные?
Решение.А: "Выпало 2 красных и 1 зеленый карандаш". Общее число исходов
Для нахождения m заметим, что 2 красных карандаша из 5 красных можно выбрать способами, а 1 зеленый из 7 зеленых - способами. И, по правилу произведения, Итак, Ответ: 0,32
Пример 43.По многолетним наблюдениям среднее число солнечных дней в сентябре на Алтае равно 12. Какова вероятность, что 16 сентября будет пасмурная погода?
Решение.Здесь мы используем статистическое определение и за вероятность приближенно принимаем относительную частоту пасмурных дней:
Ответ: 0,6.
Пример 44.В круг радиуса 5 брошена точка. Найти вероятность того, что она окажется внутри вписанного в этот круг равностороннего треугольника.
Решение. Согласно геометрического определения, вероятность равна отношению площадей треугольника и круга. СО =5, СН = 1,5 · 5 = 7,5. Полагая АН = х, АС =2х,по теореме Пифагора АС² = АН² + СН², 4х² = х² + 7,5². Отсюда находим:
· ;

А: "Точка попала внутрь треугольника".
=0,41
Ответ: 0,41

2.4. Сумма событий

Определение 2.8. Суммой событий А₁, А₂, ..., А_n называется событие А = А₁+А₂+ ...+ А_n,состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, ..., А_n.
Например, два стрелка стреляют в одну и ту же мишень по одному разу. Обозначим события:
А₁: "1-й стрелок попал в мишень",
А₂: "2-й стрелок попал в мишень".
Тогда их суммой будет событие А: "Мишень поражена", то есть, либо попал только 1-й стрелок, либо только 2-й, либо попали оба.
Если события А₁, А₂, ..., А_n несовместимы, то одновременно они наступить не могут и определение будет следующим.
Определение 2.9. Суммой несовместимых событий А₁, А₂, ..., А_n называется событие А, состоящее в наступлении только одного из событий А₁, А₂, ..., А_n.
Рассмотрим для простоты два несовместимых события А и В. Пусть m -число благоприятных исходов для события А, k-число благоприятных исходов для события В, n -общее число исходов. Вероятности событий А и В будут Число исходов, благоприятных для события С = А+В равно m+k, так как они несовместимы и Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей.    (2.3)Формула (2.3) допускает обобщение на любое число попарно несовместимых событий.
Пример 45. Брошены две игральных кости. Какова вероятность, что сумма очков на выпавших гранях будет не меньше 10?
Решение. В данном испытании фраза "не меньше 10" означает, что выпадет 10, или 11, или 12 очков. Все три эти события несовместимы, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Из 36 исходов 3 будут благоприятствовать выпадению 10 очков. Это: (4,6); (5,5) и (6,4). 11 очков могут выпадать двумя способами: (5,6) и (6,5), а 12 очков - только одним способом. Итак, если обозначить
А: "Выпадение в сумме 10 очков", P(A)= 3/36,
В: " -- // -- // -- // -- 11 - //- ",P(B)= 2/36,
С: " -- // -- // -- // -- 12 - //- ",P(C)= 1/36.
D: "Выпадение не меньше 10 очков". P(D)=P(A) + P(B) +P(C)= 3/36 + 2/36 +1/36 = 6/36 =1/6. Ответ :1/6.

2.5. Произведение событий

Определение 2.10. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.
Определение 2.11. Произведением независимых событий А и В называется событие С = А·В, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.
Рассмотрим два независимых события А и В. Пусть событию А благоприятствуют m исходов из общего числа n исходов P(A)= m / n. Событию В - соответственно k и l исходов P(B)= k / l.Тогда для события С = А·В по правилу произведения благоприятных исходов будет m · k, а общее число - n · l. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. P(AB)=P(A)·P(B)   (2.4) Например, вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет будет равна 0,5 · 0,5 = 0,25, а вероятность появления трех шестерок подряд при трех бросках игральной кости 1/6·1/6·1/6= 1/216.

2.6. Вероятность суммы совместимых событий

Рассмотрим два совместимых события А и В. Пусть m - число исходов, благоприятных для события А, k -число исходов, благоприятных для события В. И пусть среди этих m+k исходов l благоприятствуют и А, и В одновременно. Если n - общее число равновозможных событий, образующих полную группу, то Событие А+В заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему благоприятствуют m+k-l исходов, следовательно,
Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)   (2.5) Пример 46. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7,вторым - 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий.
Решение. Пусть А: "Попадание из 1 орудия",
В: "Попадание из 2 орудия",
С: "Цель поражена". А и В - совместимые события, так как они могут произойти одновременно. По формуле (2.5) P(C)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 · 0,8 = 0,94 Ответ: 0,94

2.7 Условные вероятности

При совместном рассмотрении двух событий А и В часто возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми.
Определение 2.12. Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В.
Пример 47. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров наугад друг за другом вынимают два шара. Даны события: А: "Первый шар - белый",
В: "Второй шар -белый". Найти условные вероятности Решение. Во-первых, заметим, что : "Первый шар - черный", : "Второй шар - черный". Найдем P(B/A). Событие А уже произошло, то есть первый шар вынут и он - белый. Требуется найти вероятность того, что второй шар - белый. В урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому P(B/A)= 7/19. Рассуждая аналогично, находим:

2.8 Вероятность произведения зависимых событий

Пусть даны два зависимых события А и В. И из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют m,событию В-k,событию АВ-r исходов
(rm,r).
P(A)=m / n;   P(B)=k / n;   P(AB)=r / n.
Если произошло событие А, то реализовался один из m исходов, благоприятствующих А. Вероятность того, что при этом условии произошло событие В найдется, как условная вероятность
Отсюда P(AB)=P(A)·P(B/A).
Это и есть правило умножения зависимых событий.
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло. P(AB)=P(A)·P(B/A)   (2.6)

2.9 Формула полной вероятности.

Пусть нам требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из попарно несовместимых событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу. События Н₁, Н₂, ..., Н_n будем называть гипотезами. Имеем А = АН₁ + АН₂ + ... + АН_n , причем АН₁, АН₂, ... АН_n попарно несовместимы. Применяя формулы (2.3) и (2.6), получим:
   (2.7)
Это есть формула полной вероятности. С ее помощью решается широкий класс задач.
Пример 48.Имеются 3 одинаковых коробки, содержащие по 20 лампочек. В 1-й коробке из них 2 бракованные лампочки, во второй - 4, в третьей - 5. Наугад выбирается коробка, а из нее наугад одна лампочка. Какова вероятность, что эта лампочка бракованная?
Решение. А: "Взята бракованная лампочка". Возникают 3 ги-потезы:
Н1:"Выбрана 1-я коробка",
Н2:"Выбрана 2-я коробка",
Н3:"Выбрана 3-я коробка".Поскольку все коробки одинаковые,
P(H₁)=P(H₂)=P(H₃)=1 / 3.Находим условные вероятности. По формуле полной вероятности

Ответ: 0,18
Пример 49.Из полного набора костей домино извлечена одна кость. Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно приставить к первой согласно правилам игры.
Решение. А: "Вторую кость можно приставить к первой". Если первая кость окажется дублем, вероятность события А будет меньше, чем если бы она была не дублем. Поэтому возникают две гипотезы:
Н₁:"Первая кость-дубль",
Н₂:"Первая кость-не дубль".
Находим:
Если первая кость - дубль, то найдутся 6 из 27 оставшихся костей, которые можно приставить к первой, а если не дубль, то их будет 12. Поэтому По формуле полной вероятности

Ответ: 7/18.

2.10 Формула Байеса

В тесной связи с формулой полной вероятности находится формула Байеса. Она относится к той же ситуации, когда событие А наступает только вместе с одной из гипотез и позволяет оценить вероятность гипотезы после того, как событие А произошло.
Пусть произведен опыт и наступило событие А. Мы не можем с точностью сказать, какая из гипотез осуществилась, однако можем найти вероятность каждой из них. По формуле (2.6) P(AH_i)=P(A)·P(H_i/A) = P(H_i)·P(A/H_i).Отсюда    (2.8) Это и есть формула Байеса. Здесь Р(А) находится по формуле полной вероятности, H_i (i=1,2,...,n) - любая из гипотез, а Р(Н_i/А) - вероятность этой гипотезы при условии, что произошло событие А.
Пример 50. В трех одинаковых ящиках находятся 6 белых и 4 черных, 7 белых и 3 черных, 8 белых шаров соответственно. Из произвольного ящика наугад выбирается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что этот шар вынут из второго ящика?
Решение. Пусть Н₁,Н₂,Н₃- три гипотезы, что выбран 1-й, 2-й, 3-й ящик. Требуется найти вероятность второй гипотезы при условии, что событие А произошло, т.е. P(H₂/A).По формуле Байеса Ответ: 7 / 23.

2.11. Формула Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может появиться некоторое событие А. Поставим задачу: найти вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно m раз. Обозначим А₁ - появление события А в 1-м испытании, А₂ - во 2-м испытании, и так далее. Непоявление события А в 1-м испытании обозначим , во 2-м и т.д. Событие, состоящее в появлении события А m раз в n испытаниях представится в виде суммы произведений вида
. Если обозначить вероятность непоявления события А через q ,то вероятность каждого такого произведения равна, p^m · q^n-m,а всего их будетштук. Получим:   (2.8) Это - формула Бернулли. Здесь обозначено: P_n(m) вероятность появления события А m раз в n испытаниях, р - вероятность появ-ления события А в одном испытании, q = 1 - p.
Пример 51. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.
Решение. n =6, m =5, p =0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2.
Ответ: 0,39
Пример 52. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: 3 побед в 4 партиях или 5 побед в 8 партиях?
Решение. р = 0,5; q = 0,5.


Ответ: P₄(3) > P₈(5)

2.13. Числовые характеристики случайной величины.

   Пусть дискретная случайная величина Х имеет распределена по закону:

X	x1	x2	x3	....	xn
P	p1	p2	p3	.....	pn

Опреденление 2.14. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений на их вероятности. М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + ... + х_np_n    (2.10)   Теоретико-вероятностный смысл этой характеристики состоит в том, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений при достаточно большом числе испытаний. Математическое ожидание обладает также следующими свойствами:
   1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной. М(с) = с    2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(сХ) = сМ(Х)    3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их вероятностей. М(Х + Y) = М(Х) + М(Y)    4. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их вероятностей. М(Х - Y) = М(Х) - М(Y)    Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения. Так, например, даны две случайных величины Х и Y следующими законами распределения:

X	-2	0	2			Y	-50	0	50
p	0,4	0,2	0,4			p	0,3	0,4	0,3

   Математические ожидания их равны М(Х) = М(Y) = 0,однако возможные значения рассеяны поразному: у случайной величины Y они сильнее отклоняются от среднего значения М(Y). И на практике, приодинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть благоприятной для земледелия, другая - нет.   Поэтому возникает необходимость введения новых числовых характеристик случайной величины, по которым можно судить о рассеянии возможных значений около математического ожидания. Этими характеристиками являются дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение
Опреденление 2.15.Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. D(X) = M[X -M(X)]²     (2.11)
Опреденление 2.16. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называется квадратный корень из ее дисперсии.     (2.12) Дисперсия обладает следующими свойствами, которые непосредственно получаются из формулы (2.11).
   1.Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания. D(X) = M(X²) - M²(X)   (2.13)    2.Дисперсия постоянной величины равна нулю. D(c) = 0    3.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(cX) = c²D(X)    4.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. D(X + Y) = D(X) + D(Y)    5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. D(X - Y) = D(X) + D(Y) Пример 53. Испытывается устройство, состоящее из четырех одинаковых приборов. Вероятность отказа каждого прибора равна 0,2. Составить закон распределения, найти математическое ожидание, дис-персию и среднее квадратическое отклонение случайного числа отка-завших приборов.
Решение.Х - число отказавших приборов. Возможные значе-ния этой случайной величины 0, 1, 2, 3, 4. Их вероятности находим по формуле Бернулли при n=4, p=0,2, q=0,8. Проверка: 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,04016=1. Закон распределения будет иметь вид:

X	0	1	2	3	4
p	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

М(Х)=0,4096·0+0,4096·1+0,1536·23+0,0256·3+0,0016·4=0,8;
D(Х)=M(X²)-M²(X)=04096·0² +0,4096·1²+0,1536·2²+0,0256·3² +0,0016·4²-0,8²=0,64
s(X)= = 0,8.
Ответ: М(Х)=0,8;D(Х)=0,64; s(Х)=0,8.
Пример 54. Круглая мишень разделена диаметрами на 8 равных секторов и вращается вокруг оси О. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать секторы и вынужден стрелять наугад. При попадании в 1-й сектор он выигрывает 1 руб., во 2-й - выигрывает 2 руб. и т.д., при попадании в 8-й сектор - выигрывает 8 руб. Выгодно ли стрелку участвовать в такой игре, если за каждый выстрел надо платить 5 руб.?
Решение.Пусть случайная величина Х - размер выигрыша стрелка при одном выстреле. Так как все секторы одинаковы, вероятность попадания в каждый равны по 1\8. Найдем математическое ожидание выигрыша.
M(X)=1/8 (1+2+3+4+5+6+7+8)=4,5(руб.).Это среднее значение выигрыша в данной игре, которое совпадает со "справедливой ценой" одного выстрела. Так как за выстрел приходится платить 5 руб., то стрелять много раз невыгодно.
Пример 55. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Составить закон распределения числа израсходованных патронов, если вероятность его попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти М(Х), D(Х), s(Х).
Решение.. Х - число израсходованных патронов. Возможные значения Х = 1, 2, 3, 4. Находим их вероятности.
      Р(Х=1) = 0,6;
      Р(Х=2) = 0,24;
      Р(Х=3) = 0,4·0,4· 0,6 = 0,096;
      Р(Х=4) = 0,4 · 0,4· 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064.
Проверка: 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1. Закон распределения Х:

X	1	2	3	4
p	0,6	0,24	0,096	0,064

М(Х) = 0,6 · 1 + 0,24 · 2 + 0,096 ·3 + 0,064 · 4 = 1,624;
D(Х) = 0,6· 1² + 0,24· 2² + 0,096 · 3² + 0,064 · 4² - 1,624² = 0,81;
s(Х)=
Ответ: М(Х) = 1,624; D(Х) = 0,81;s (Х) = 0,9.