1. Общие правила комбинаторики

1.2. Размещения

Если из данного множества предметов мы будем выбирать некоторое подмножество, то его будем называть выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные. В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку. Например, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляем трехзначные числа 123, 431, 524, ...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, ведь 123 и 132 - разные числа. Другой пример: из 20 учащихся класса будем выбирать двух дежурных. Любая пара дежурных представляет собой неупорядоченную двухэлементную выборку, так как порядок их выбора не важен.
Определение 1.1. Размещениями из n элементов по m (m n) называются упорядоченные m -элементные выборки из данных n элементов.
Из определения следует, что размещения отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком.
Число размещений из n по m обозначается
Чтобы вывести формулу числа размещений, заметим, что первый элемент в выборку мы можем выбрать n способами, второй из оставшихся n-1 элементов (n-1) способами, третий - (n-2) способами и так далее, m-й элемент можно выбрать n-(m-1) = n-m+1 способами. По правилу произведения получим:    (1.1) Это и есть формула для вычисления числа размещений. Найдем, например, число размещений из 7 по 3. Здесь n = 7, n - m +1 =5. Значит,
Заметим, что верхний индекс 3 показывает, сколько сомножителей надо взять в произведение. Приведем еще несколько примеров: Пример 6. Составить все из трех букв А, В, С по две буквы.
Решение. Это будут: АВ, АС, ВС, ВА, СА, СВ. Проверим по формуле: Их действительно 6 штук. Отметим, что АВ и ВА - разные размещения.
Пример 7. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?
Решение. Трехзначные числа представляют собой трехэлементные выборки из пяти цифр, причем, выборки упорядоченные, поскольку порядок цифр в числе существенен. Значит, этих чисел будет столько, сколько существует из пяти элементов по 3.
Ответ: 60 чисел.
Часто формулы комбинаторики записывают с помощью факториалов. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (читается: эн-факториал). n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Эту Формулу можно теперь преобразовать следующим образом. Умножим и разделим правую часть этой формулы на выражение (n-m)! = 1 · 2 · 3 · ... ·(n-m). Тогда получится: (1.2) вычислим например, по этой формуле:
Мы видим, что здесь приходится еще сокращать дробь, поэтому для вычисления числа с конкретными значениями m и n первая формула предпочтительнее. Условились считать, что 0! =1.

1.3 Перестановки

Определение 1.2 Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n.
Из определения следует, что в данном случае в упорядоченную выборку входят все n элементов и отличаться выборки могут только порядком. Поэтому все перестановки имеют один и тот же состав и отличаются только порядком элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается Рn. Подставляя в формулу (1.1) или (1.2) m = n, получим формулу для вычисления числа перестановок из n элементов:
   (1.3) Приведем несколько примеров использования этой формулы. Р5 = 5! = 1· 2 ·3 · 4 ·5 = 120; Р2 = 2! = 1· 2 = 2; Р1 = 1! = 1. Пример 8.Составить все размещения из трех букв А, В, С.
Решение. АВС, АСВ, ВАС, ВСА, СВА, САВ. Проверим по формуле: Р₃ = 1·2·3 = 6. Пример 9. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?
Решение.Каждая расстановка будет отличаться от другой порядком следования книг. Поэтому это будут перестановки из семи элементов. Р₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7= 5040. Ответ: 5040 способами.
Пример 10. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?
Решение. Из данных шести цифр можно составить Р₆ = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р₅ = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600.
Ответ: 600 чисел.

1.4 Сочетания

Определение 1.3. Сочетаниями из n элементов по m (m n) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n элементов.
Ясно, что все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а порядок элементов здесь не существенен. Число сочетаний из n по m обозначается Чтобы из сочетаний получить размещения, надо упорядочить каждую m-элементную выборку, а это можно сделать m! способами. Следовательно, число сочетаний меньше числа размещений в m! раз. Учитывая этот факт, из формул (1.1) и (1.2) получим соответствующие формулы для вычисления числа сочетаний:
   (1.4)    и
     (1.5)
Например,
Пример 11. Составить все сочетания из трех букв А, В, С по две буквы.
Решение. Это будут АВ, АС, ВС. Проверим по формуле:
(Обратите внимание, что АВ и ВА - это одно и то же сочетание, на разные размещения.)
Пример 12. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2. Ответ: 190 способами.
Пример 13. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?
Решение. Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно способами.
Ответ: 1365 способами.
Эту задачу можно было решить по-другому: из 15 учащихся выбрать 11 , а остальные 4 образуют другую группу. Это можно осуществить cпособами. Получается тот же ответ и возникает подозрение, что
. Это действительно так. Сочетания обладают свойством
(1.6) в чем легко убедиться с помощью формулы (1.5): Пользуясь этой формулой, вычислим .

1.5 Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Составим таблицу значений для n ,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7
0	1	.	.	.	.	.	.	.
1	1	1	.	.	.	.	.	.
2	1	2	1	.	.	.	.	.
3	1	3	3	1	.	.	.	.
4	1	4	6	4	1	.	.	.
5	1	5	10	10	5	1	.	.
6	1	6	15	20	15	6	1	.
7	1	7	21	35	35	21	7	1

   
Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.
1 1        1 1        2        1 1        3        3        1 1        4        6        4        1  1       5        10      10       5       1   1      6        15       20      15      6      1   1       7       21      35      35       21      7      1     
Такой треугольник Паскаля обладает свойством:каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:
(a + b)¹ = a + b;
(a + b)² = a² + 2ab + b²;
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Легко заметить, что коэффициенты в правых частях этих формул взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля. Оказывается, при любом натуральном n справедлива формула
   (1.7) которая называется формулой Ньютона в честь английского физика и математика Исаака Ньютона. Правую часть формулы (1.7) называют разложением степени бинома. По этой же формуле вычисляется (а-b)ⁿ, полагая (а - b)ⁿ = (a +(-b))ⁿ. В этом случае второе слагаемое будет со знаком минус, далее знаки чередуются.
Пример 14.Записать разложение 4-й степени бинома (а + b)⁴.
РешениеКоэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона: (а + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Пример 15.Записать разложение (2m -3n)⁵.
РешениеИспользуем 5-ю строку треугольника Паскаля.
(2m -3n)⁵ = (2m)⁵ - 5(2m)⁴3n + 10(2m)³(3n)² -10(2m)²(3n)³
+ 5(2m)(3n)⁴-(3n)⁵ = 32m⁵ - 240m⁴n + 720m³n² - 1080m²n³ + 810mn⁴ - 243n⁵.
Пример 16. Вычислить без калькулятора: РешениеСначала возведем в четвертую степень двучлен.
. Поэтому Ответ: 7.

1.6 Примеры более сложных задач на сочетания, размещения и перестановки без повторений.

Пример 17. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?
РешениеВыберем сначала из 10 роз 2 розы. Это можно осуществить способами. Мы используем сочетания, а не размещения, потому что порядок, в котором выбираются цветы, значения не имеет. Независимо от выбора роз 3 георгина из 8 можно взять способами. Тогда, по правилу произведения, 2 розы и 3 георгина можно выбрать способами. Ответ: 2520 способами.
Пример 18.Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?
Решение.Выберем сначала председателя и секретаря. Вариантов выбора этих двух человек из 40 будет Размещения здесь потому, что этот выбор зависит от порядка, например, "Иванов - председатель, Петров - секретарь" и "Петров - председатель, Иванов - секретарь" - это разные варианты. Затем из оставшихся 38 человек изберем 3 человека в редакционную комиссию. Это делается cпособами. По правилу произведения всего вариантов: Можно было действовать иначе: сначала выбрать комиссию способами, а затем председателя и секретаря способами. Всего вариантов:. Ответ: 13160160.
Пример 19. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома:
а) стояли рядом;
б) не стояли рядом?
Решение. а). Подсчитаем сначала число вариантов расстановки, когда первый и второй тома стоят рядом. Их можно считать за одну книгу.
Тогда получается Р₇ = 7! перестановок. Но первый и второй тома можно соединить двумя способами: слева первый, справа второй том и наоборот. За счет этого количество вариантов удваивается и всего их будет 2·7! = 10080.
б). Указанные тома не стоят рядом во всех остальных случаях, значит, из общего числа перестановок восьми книг надо вычесть число перестановок, когда тома стоят рядом. Итак, 8! - 10080 = 30240.
Ответ: а)10080, б) 30240.
Пример 20. Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой - 20. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках? Решение. Заметим, что здесь будет два типа треугольников, расположенных вершинами вверх и вершинами вниз. Для треугольника первого типа вершину выбираем 10 способами, а основание (2 точки из 20) - способами. Всего, по правилу произведения, получается 10· треугольников. Аналогично, треугольников второго типа будет 20· Наконец, применив правило суммы, получим общее количество треугольников: 10· + 20·
Ответ: 2800 треугольников
Пример 21.В вагоне электрички имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое - против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Решение. Желающих сидеть по ходу движения разместим способами, против хода - , остальных троих на три пустых места - Р₃ = 3! способами. По правилу произведения всех пассажиров можно разместить    способами. Ответ: 43200 способами
Пример 22. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
Решение. Четырех девушек можно выбрать способами. После этого выбираем способами юношей (здесь уже существенен порядок).
Всего =17 417 400.
Ответ: 17 417 400 способами

1.7. Перестановки с повторениями

До сих пор мы рассматривали комбинации, в которых элементы не повторялись, то есть каждый из них можно было взять в выборку только один раз. Если же это ограничение убрать, то получим еще три вида комбинаций: перестановки, размещения и сочетания с повторениями.
Рассмотрим, например, слово "КВАНТ", состоящее из пяти различных букв. Если менять порядок букв, получим 5! =120 перестановок, т.е. 120 новых слов. (Словом будем называть любую комбинацию букв). Если проделать то же со словом "АТАКА", то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами первую, третью и пятую буквы, будем получать то же самое слово. И, так как три буквы "А" можно менять местами 3! = 6 способами, то и перестановок в слове "АТАКА" будет в 6 раз меньше.
А теперь рассмотрим общий случай. Пусть дана выборка
состоящая из n элементов, причем, элемент а повторяется m₁ раз, элемент b - m₂ раз, и т.д., элемент с - m_k раз и m₁ + m₂ +...+ m_k = n. Перестановки в такой выборке, где есть одинаковые элементы, называются перестановками с повторениями и число перестановок с повторениями обозначается P_n(m₁,m₂,....,m_k) Из приведенных выше рассуждений следует формула:
    (1.8)
Пример 23. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
Решение.Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р₈ (2,2,2). По формуле: Ответ: 5040 способами
Пример 24. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи? Решение. Обозначая фрукты по первым буквам названия, составим несколько вариантов выдачи: ЯЯГГГАААА, ААГГЯГААЯ, ГГГААЯЯАА. Эти выборки имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями.
Ответ: 1260 вариантов

1.8 Размещения с повторениями

Определение 1.4. Размещениями с повторениями из n по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число размещений с повторениями из n по m обозначается . В отличие от обычных размещений, где m n , в размещениях с повторениями m и n могут быть любыми. Выведем формулу числа размещений с повторениями. Будем конструировать m -элементную выборку из n элементов. Первый элемент, как и все последующие, мы можем выбирать n способами, ведь на любое место можно поставить любой из n элементов. Применяя правило произведения, получим:
   (1.9) Пример 25.Сколько четырехбуквенных "слов" можно составить из букв "М" и "А"? Результат проверить непосредственно.
Решение. Составим несколько таких "слов". МММА, МАМА, МААА ...Мы видим, что состав выборки меняется, порядок элементов в выборке существенен. Значит, это - размещения с повторениями из 2 букв "М" и "А" по 4 буквы. Выпишем непосредственно все эти 16 "слов":
ММММ, МММА, ММАМ, МАММ, АМММ, ММАА, МАМА, АММА, АМАМ, ААММ, МААМ, АМАА, ААМА, АААМ, МААА, АААА.
Ответ: 16 слов.
Пример 26. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?
Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6:
Ответ: 729 комбинаций

1.9 Сочетания с повторениями

Определение 1.5 Сочетаниями с повторениями из n по m называются неупорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число сочетаний с повторениями из n по m обозначается В отличие от обычных сочетаний, где m n , в сочетаниях с повторениями m и n могут быть любыми. Формулу для вычисления числа сочетаний с повторениями выведем на основе следующего частного примера.
Пример 27. В почтовом отделении имеются открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить набор из 5 открыток?
Решение. Ясно, что в купленном наборе открыток они будут повторяться и порядок их в наборе не важен, то есть это будут сочетания с повторениями из 3 по 5. Зашифруем все возможные наборы из 5 открыток следующим образом: открытки каждого вида изобразим в виде единиц, разделенных символами #. Так выборка 11#1#11 означает, что мы купили 2 открытки первого вида, одну - второго и 2 открытки третьего вида, а ##11111 - все 5 открыток третьего вида. Подсчитаем количество таких выборок. Каждая из них состоит из 7 элементов: пяти единиц и двух трегольников, то есть состав не меняется, а меняется только порядок элементов. Значит, это будут перестановки с повторениями из 7 элементов, где # повторяется два раза, а 1 - пять раз. Ответ: 21способом
В общем случае, если имеется n видов открыток, а купить надо m штук, получим:
    (1.10) Это и есть формула числа сочетаний с повторениями, однако она неудобна для запоминания, поэтому представим эту формулу в другом виде. Для этого вычислим по
и сравним с (1.10). Правые части этих равенств равны. Приравнивая левые части, получим формулу, выражающую число сочетаний с повторениями через обычное число сочетаний.
   (1.11) Пример 28. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ...
Состав меняется от выборки к выборке, значит, это уже не перестановки; порядок элементов несущественен, это - сочетания с повторениями из 2 по 6. Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
Ответ: 7 вариантов
Пример 29. Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, длина ребра которых выражается целым числом от 1 до 9?
Решение.Параллелепипед определяется тремя ребрами, поэтому его можно представить в виде тройки чисел. Выпишем несколько вариантов: (1,1,5); (2,7,9); (4,4,4) ... Элементы в выборке могут повторяться, состав меняется, порядок не существенен, например, выборки (2,7,9) и (9,2,7) соответствуют одному и тому же параллепипеду. Применяем формулу сочетаний с повторениями Ответ: 165 параллелепипедов

1.10. Схема определения вида комбинации

Приведем в систему полученные формулы всех 6 видов комбинаций с повторениями и без повторений, представив алгоритм определения вида комбинации следующей схемой. Решим несколько задач с применением данной схемы.
Пример 30. В магазине игрушек имеются 7 одинаковых Чебурашек и 2 одинаковых Крокодила. Сколькими способами их можно расставить в один ряд на витрине?
Решение.Обозначив игрушки первыми бувами названия, составим несколько комбинаций: КЧЧЧЧЧЧЧК, ЧЧЧКЧКЧЧЧ, ККЧЧЧЧЧЧЧ, ... Повторяются ли элементы в выборке? Да. Меняется ли состав? Нет, ведь каждая выборка состоит из семи букв "Ч" и двух букв "К". Следовательно, это перестановки с повторениями. Ответ: 36 способами.
Пример 31. На окружности расположено 20 точек. Сколько существует вписанных треугольников с вершинами в этих точках?
Решение. Занумеруем точки числами от 1 до 20. Тогда каждый вписанный треугольник будет представлять собой тройку чисел. Выпишем несколько выборок: (1, 5, 19), (15, 2, 9), (14, 13, 7) .... Числа в выборке не могут повторяться, так как все вершины треугольника различны. Состав меняется от выборки к выборке, порядок не существенен, так как (1, 5, 19) и (19, 5, 1) - один и тот же треугольник. По схеме получается, что это сочетания без повторений из 20 по 3. Ответ:1140 треугольников.
Пример 32. В некотором сказочном государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов (либо у них разное число зубов, либо зубов нет в разных местах). Оцените наибольшую численность населения этого государства, если максимальное число зубов у человека - 32.
Решение. Закодируем каждого жителя набором из 32 нулей и единиц. Единица соответствует наличию зуба в данном месте, нуль - его отсутствию. Выпишем несколько комбинаций: 11111...11, 1010...11, 00000...00, ...Элементы повторяются, состав меняется, порядок существенен. Это - размещения с повторениями из 2 по 32. Ответ: 429 4967 296 жителей
Пример 33. Имеются в неограниченном количестве палочки длиной 5, 6, 7, 8, 9, 10 сантиметров. Сколько различных треугольников можно из них составить?
Решение. Составим несколько выборок: (5,5,5); (6,7,8); (8,9,9).. Элементы повторяются, состав меняется, порядок не существенен. Согласно схеме, применяем формулу сочетаний с повторениями из 6 по 3:. Однако, здесь есть небольшой подвох: треугольника со сторонами 5, 5, 10 не существует, так что их будет 55.
Ответ: 55 треугольников

1.11. Примеры более сложных задач комбинаторики

Пример 34. Выпуклый многоугольник имеет 90 диагоналей. Сколько у него сторон?
Решение.Обозначим количество сторон многоугольника через n. Вершин у него тоже будет n. Соединим вершины попарно отрезками, которых будет . Среди этих отрезков будет n сторон, остальные - диагонали. Составим уравнение по условию задачи:. Отсюда получается квадратное уравнение n²-3n-180=0, корни которого n₁=15, n₂= - 12.По смыслу задачи подходит n=15
Ответ: 15 сторон.
Пример 35. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.
Решение. Если участников - n человек, партий будет сыграно
штук. Составим уравнение ,решив которое, найдем: n =21.
Ответ: 21 шахматист
Пример 36. Города А и В соединены двумя шоссейными дорогами, которые соединены десятью проселочными. Сколькими различными способами можно проехать из А в В, чтобы ни разу не пересекать пройденный путь?
Решение.Решение. В данном случае можно найти количество способов в предположении, что из города А мы выехали по первой дороге, а результат умножить на 2. Все возможные пути закодируем следующим образом: если мы сворачиваем на данную проселочную дорогу, то ставим цифру 1, если нет - то 0. Осталось посчитать количество таких выборок из единиц и нулей. По схеме находим, что надо применять формулу числа размещений с повторениями, и всего дорог будет: Ответ: 2048 дорог