Метод простой итерации

Метод простой итерации для нелинейного уравнения

Рассмотрим уравнение
f(x)=0 (2.1)
с отделенным корнем X[a, b]. Для решения уравнения (2.1) методом простой итерации приведем его к равносильному виду:
x=φ(x) (2.2)
Это всегда можно сделать, причем многими способами. Например: x=g(x) · f(x) + x φ(x), где g(x) - произвольная непрерывная функция, не имеющая корней на отрезке [a,b].

Пусть x(0) - полученное каким-либо способом приближение к корню x (в простейшем случае x(0)=(a+b)/2). Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении членов итерационной последовательности:
x(k+1)=φ(x(k)), k=0, 1, 2, ... (2.3)

начиная с приближения x(0).

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1 Если последовательность {x(k)} метода простой итерации сходится и функция φ непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x=φ(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть
(2.4)

Перейдем к пределу в равенстве x(k+1)=φ(x(k)) Получим с одной сторонv по (2.4), что а с другой стороны в силу непрерывности функции φ и (2.4)

В результате получаем x*=φ(x*). Следовательно, x* - корень уравнения (2.2), т.е. X=x*

Чтобы пользоваться этим утверждением нужна сходимость последовательности {x(k)}. Достаточное условие сходимости дает:

ТЕОРЕМА 2.1 (о сходимости) Пусть уравнение x=φ(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) φ(x) C1[a,b];

2) φ(x)[a,b] x [a,b];

3) существует константа q > 0: | φ '(x) | ≤ q < 1 x [a,b]. Tогда итерационная последовательность {x(k)}, заданная формулой x(k+1) = φ(x(k)), k=0, 1, ... сходится при любом начальном приближении x(0)[a,b].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Рассмотрим два соседних члена последовательности {x(k)}: x(k) = φ(x(k-1)) и x(k+1) = φ(x(k)) Tак как по условию 2) x(k) и x(k+1) лежат внутри отрезка [a,b], то используя теорему Лагранжа о средних значениях получаем:

x (k+1) - x (k) = φ(x (k)) - φ(x (k-1)) = φ '(c k )(x (k) - x (k-1))

где c k (x (k-1), x (k)).

Отсюда получаем:
| x (k+1) - x (k) | = | φ '(c k ) | · | x (k) - x (k-1) | ≤ q | x (k) - x (k-1)| ≤
≤ q ( q | x (k-1) - x (k-2) | ) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) |
≤ ... ≤ q k | x (1) - x (0) |
(2.5)

Рассмотрим ряд
S = x (0) + ( x (1) - x (0) ) + ... + ( x (k+1) - x (k) ) + ... . (2.6)

Если мы докажем, что этот ряд сходится, то значит сходится и последовательность его частичных сумм
Sk = x (0) + ( x (1) - x (0) ) + ... + ( x (k) - x (k-1) ).

Но нетрудно вычислить, что
Sk = x (k) (2.7)

Следовательно, мы тем самым докажем и сходимость итерационной последовательности {x(k)}.

Для доказательства сходимости pяда (2.6) сравним его почленно (без первого слагаемого x(0)) с рядом
q 0 | x (1) - x (0) | + q 1 |x (1) - x (0)| + ... + |x (1) - x (0)| + ..., (2.8)

который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (так как по условию q < 1). В силу неравенства (2.5) абсолютные величины ряда (2.6) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (2.8) (то есть ряд (2.8) мажорирует ряд (2.6). Следовательно ряд (2.6) также сходится. Tем самым сходится последовательность {x(0)}

Получим формулу, дающую способ оценки погрешности |X - x (k+1)| метода простой итерации.

Имеем X - x(k+1) = X - Sk+1 = S - Sk+1 = (x(k+2) - (k+1) ) + (x(k+3) - x(k+2) ) + ... . Следовательно |X - x(k+1)| ≤ |x(k+2) - (k+1) | + |x(k+3) - x(k+2) | + ... ≤ qk+1 |x(1) - x(0) | + qk+2 |x(1) - x(0) | + ... = qk+1|x(1) - x(0) | / (1-q)

В результате получаем формулу
|X - x(k+1)| ≤ qk+1|x(1) - x(0) | / (1-q) (2.9)

Взяв за x(0) значение x(k), за x(1) - значение x(k+1) (так как при выполнении условий теоремы такой выбор возможен) и учитывая, что при имеет место неравенство qk+1q выводим:

|X - x(k+1)| ≤ qk+1|x(k+1) - x(k) | / (1-q) ≤ q|x(k+1) - x(k) | / (1-q)

Итак, окончательно получаем:
|X - x(k+1)| ≤ q|x(k+1) - x(k) | / (1-q) (2.10)

Используем эту формулу для вывода критерия окончания итерационной последовательности. Пусть уравнение x=φ(x) решается методом простой итерации, причем ответ должен быть найден с точностью ε , то есть |X - x(k+1)| ≤ ε. С учетом (2.10) получаем, что точность ε будет достигнута, если выполнено неравенство
|x(k+1)-x(k)| (1-q)/q (2.11)

Tаким образом для нахождения корней уравнения x=φ(x) методом простой итерации с точностью нужно продолжать итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа ε(1-q)/q.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2 В качестве константы q обычно берут оценку сверху для величины

ПРИМЕР 2.1 Составим последовательность для решения уравнения f(x)=x·ex=0 по методу простой итерации.

Приведем уравнение к итерационному виду:

x = e - x ≡ φ(x).

Далее графически произведем отделение корня.

Несложный анализ графика показывает, что корень X[e-1,1]. Tак как при x[e-1,1] и e-x[e-1,1] , x[e-1,1], то в соответствии с теоремой итерационная последовательность x(k+1) = e - x(k) , k=0, 1, 2, ... гарантированно сходится к корню уравнения. В качестве начального приближения к корню можно взять x(0)=0.5(1+e-1).