12. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

        Избыточные измерения. Геодезические сети обязательно должны содержать избыточные измерения. Они нужны для своевременного обнаружения и исправления некачественных величин и для оценки точности измерений. На рис. 21a показаны два вектора A и B, избыточные данные отсутствуют. На рис. 21б избыточно определен вектор C. Теперь координаты пункта 3 можно найти по вектору В и проконтролировать по векторам А+С.

Рис. 21. Фрагмент геодезической сети; избыточные измерения: а - отсутствуют,
б - имеются

        До вычислений следует решить, что уравнивать, как определять веса, учитывать или нет
коррелированность измерений. Полагаем, что уравниванию подлежат полученные приращения координат, т.е. составляющие D_x, D_y, D_z векторов D. В дальнейшем в данном пособии они рассматриваются как измеренные величины. Это допущение существенно упрощает обработку.
Веса pi определяют отношением дисперсии m ² измерения, вес которого принят за единицу (единицы веса) к дисперсии s _i² текущего измерения:

p_i = m ² / s _i² .

Эти дисперсии для приращений координат могут быть вычислены по формулам:

s _i = a + b^. D_км , m = a + b^. D⁰_км .

D_км - длина вектора в километрах, D⁰_км - произвольная величина, числено равна среднему из длин векторов. Часто полагают m ²=1 Коэффициенты a = от 5 до 10 мм, b = от 1до 2 мм/км. Веса pi расположим на главной диагонали диагональной весовой матрицы P. Если измерения равноточные, то все веса одинаковы, равны 1 и весовая матрица становится единичной: P = E.
Неучет корреляций искажает поправки из уравнивания до 20%. Для их учета нужно составить корреляционную матрицу K и определить весовую матрицу из выражения
K=m ²P^-1. Для простоты в дальнейшем найденные приращения координат полагаем
некоррелированными.
        Коррелатное уравнивание. В этом случае выясняют, какие в сети возникают условия и вычисляют невязки. В сетях с "измеренными" приращениями координат вид условий зависит от того, как проложен векторный ход. Если векторный ход образует замкнутый контур, то векторное условие имеет вид:

S D_ij = 0,

где вектор D_ij соединяет пункты i и j. Эта запись означает, что суммы приращений
координат по каждой координатной оси в замкнутой фигуре равны нулю. Когда ход
проложен между векторами R_I e R_II двух опорных пунктов, координаты которых не
подлежат исправлению, условие принимает вид:

S D_ij - (R_II - R_I ) = 0 .

      Каждое из записанных векторных условий может быть разложено по трем координатным
осям и представлено тремя скалярными формулами. Подстановка в уравнения условий составляющих векторов D_x, D_y, D_z,  полученных из измерений, приведет к появлению невязок. Например, по оси Х для невязок получим:

W_X = S D_xij e W_X = S D_xij - (X _II - X_I) .

      Аналогично получим невязки W_y и W_z. Количество невязок r равно утроенному числу
избыточно измеренных векторов. Для примера ниже приведены невязки (в мм) по двум треугольникам, образованным на учебном полигоне МГУ измерениями двухчастотными приемниками 4000 SST фирмы Trimble.

      Чтобы невязки устранить, следует величины D_x, D_y, D_z исправить соответственно
поправками V_x, V_y, V_z. Так, для векторного треугольника с номерами вершин 1, 2, 3 и
векторами, ориентированными по часовой стрелке, условие по оси Х будет иметь вид:

V_x12 + V_x23 + V_x31 + W_x123 = 0.

       Аналогичные уравнения условий будут по осям Y и Z. Для всех условий в сети получим систему уравнений

BV+W=0

       Элементами векторов V и W соответственно являются искомые поправки и вычисленные
невязки; матрица B содержит коэффициенты, стоящие перед поправками в условных
уравнениях. Как видим, эти коэффициенты равны +1, 0 или -1.
Коррелатный способ МНК позволяет найти такие поправки V_x, V_y, V_z , что взвешенная
сумма их квадратов будет минимальна при сохранении всех указанных геометрических
условий. Векторы коррелат K и поправок V вычисляют по формулам:

K = - (BP^-1B^Т)^-1 W, V = P^-1B^ТK .

        Для оценки точности вычисляют СКП единицы веса:

m ² = V^ТPV/r или m ² = W^T(BP^-1B^Т)^-1 W /r

         В малых сетях уравнивание коррелатным способом МНК выполняется просто. Так, если сеть состоит из одного треугольника, то в треугольнике невязки распределяются по
соответствующим составляющим векторов с обратным знаком пропорционально
обратным весам. Если длины векторов одинаковы, то поправка в каждое приращение
координат рана 1/3 соответствующей невязки, взятой с обратным знаком.
Величины невязок говорят о точности построений. Поэтому геодезическая сеть должна
быть спроектирована таким образом, чтобы векторы образовывали замкнутые небольшие, максимум 8-сторонние, контуры (Филиппов, Янкуш, 1995).
        Параметрическое уравнивание. В сложных сетях избыточных измерений много(рис. 22). Уравнивать эффективнее параметрическим способом МНК.

Рис. 22. Векторная геодезическая сеть; А, В - исходные пункты; 1-4 - определяемые пункты

       До уравнивания вычисляют приближенные координаты определяемых пунктов. Обозначим их индексами 0: X0, Y0, Z0. В результате уравнивания определяют в эти координаты поправки (параметры) d x, d y, d z и поправки V_x, V_y, V_z в "измеренные" приращения координат D_x, D_y, D_z.   Для поправки, например, V_xij в составляющую D_xij вектора, соединяющего пункты i и j, можно составить уравнение:

V_xij + D_xij = (X_0j + d x_j) - (X_0i + d x_i).

Отсюда

V_xij = - d x_i + d x_j + l_xij,              где        l_xij = (X_0j - X_0i) - D_xij .

       Аналогичными будут уравнения поправок V_yij, V_zij. Всего таких уравнений 3n, где n
количество измеренных векторов. Координаты опорных пунктов исправлению не подлежат. Поэтому в уравнениях поправок в составляющие векторов, опирающихся на один или два исходных пункта, поправки в координаты этих пунктов должны равняться нулю. Так, для векторов, соединяющих на рис. 22 пункты A и 1, A и B, уравнения поправок, например, по оси Х будут иметь вид:

V_xA1 = - d x₁ + l _xA1, V_xAA = l_xAA.

Для всех уравнений поправок в векторно-матричной записи будем иметь:

V = Ad + L,

где V - вектор с 3n поправками в измеренные величины, d - вектор с 3k поправками в
координаты k определяемых пунктов, L - вектор с 3n величинами l, A - матрица
коэффициентов уравнений поправок размера 3n х 3k. Ее элементами будут +1, 0 или -1.
Требование МНК, чтобы взвешенная сумма квадратов поправок V^ТPV была минимальной, приводит к условию V^ТPV = 0. Отсюда следует система нормальных уравнения для вычисления параметров d:

A^TPAd + A^TP L = 0 .

Для оценки точности необходимо вычислить:

• СКП единицы веса

m ² = V^ТPV/3(n - k);

• ковариационную матрицу поправок в координаты

Q = (A^TPA)^-1 ;

• СКП координаты, занимающей в векторе поправок d q-ую позицию,

s ² = m ²Q_qq,

где Q_qq - диагональный элемент на пересечении q-ых столбца и строки в матрице Q.
Совпадение значений СКП единицы веса, вычисленных до и после уравнивания,
свидетельствует о правильности стратегии выбора весов. Все формулы верны и для коррелированных измерений.