Школьные олимпиады проводятся с V по XI класс. В этих олимпиадах принимают участие все участники математических кружков и все другие учащиеся, желающие посоревноваться в решении задач, проверить свои силы и математические способности.
Хотя олимпиады и подводят итоги внеклассной работы с учащимися по математике за истекший период года, тем не менее: за 2-3 недели до их проведения целесообразно провести специальную подготовительную работу, содержание и формы которой в значительной степени должны помочь достижению целей проведения олимпиад, обеспечить лучшие результаты соревнований учащихся, привлечь на олимпиаду учащихся, не принимавших участия в работе математических кружков.
Желательно, чтобы родители учащихся заранее знали цели/задачи и время проведения школьных и районных олимпиад. К подготовительной работе, а в отдельных случаях и к проведению олимпиад могут привлекаться родители, особенно работающие в области математической науки.
Для подготовки и проведения олимпиад создаются оргкомитет и жюри. Жюри является частью оргкомитета. Оргкомитет по проведению школьной математической олимпиады составляется из учителей математики школы и актива учащихся разных классов. В больших средних школах может быть создано два оргкомитета: один для проведения олимпиады в V - IX классах, другой для проведения олимпиад в X - X I классах.
В жюри по проведению олимпиады в младших и средних классах входят учащиеся старших классов и учителя. Жюри по проведению олимпиады в старших классах составляется из учителей и, если имеется возможность, из преподавателей техникумов, вузов и научно-исследовательских институтов.
За 3-4 недели до проведения олимпиады оргкомитет намечает план подготовительных мероприятий и порядок проведения олимпиады, определяет ответственных за каждое мероприятие. За 2-3 недели до олимпиады вывешиваются красочные объявления об олимпиаде, призывы к учащимся подготовиться и принять участие в олимпиаде, красочно оформленные подготовительные задачи по разным классам и группе классов, рекомендации о том, как готовиться к олимпиаде, какие можно использовать книги, к кому обращаться за советами. Оргкомитет составляет расписание консультаций с указанием фамилий людей, проводящих консультации. Это расписание вывешивается вместе с другими подготовительными материалами.
Подготовительные задачи, рекомендации по подготовке к олимпиаде, задания для проведения олимпиады готовят члены жюри. Эти материалы рассматриваются на заседании жюри. Задания обычно подбираются для каждой параллели классов, но отдельные задачи могут быть или близки по условию, или совпадать. Задачи можно подобрать из книг серии "Библиотека физико-математической школы", журналов "Квант" и "Математика в школе", пособий для факультативных занятий, учебников, сборников олимпиадных материалов, а также из книг, предложенных в списке рекомендуемой литературы.
Во время утверждения заданий для проведения соревнований по каждому классу жюри определяет и утверждает число очков за правильное решение каждого задания, определяет число очков, которое снижается за выполнение каждого задания при наличии в его решении тех или иных недочетов, а также число очков, которое может быть иногда поставлено за оригинальное обоснование или особо рациональные преобразования. Жюри утверждает весь порядок проверки работ участников олимпиады и порядок подведения итогов соревнований и олимпиады в целом. Как правило, члены жюри распределяются по классам. Группа членов жюри по соответствующим классам проверяет работы учащихся этих классов, подводит общие итоги соревнований учащихся, докладывает результаты соревнований на общем заседании жюри. У членов жюри по классам могут возникнуть разногласия в оценках отдельных работ. Эти работы и их оценки рассматриваются на общем заседании жюри.
Результаты олимпиады оформляются в виде решения оргкомитета или жюри, утвержденного приказом директора школы. Результаты олимпиады доводятся до сведения всех учащихся школы и заносятся в личное дело каждого ученика, успешно выступившего на олимпиаде. По окончании учебного года эти успехи отмечаются в характеристиках учащихся.
На школьных олимпиадах целесообразно установить три степени поощрения. Их можно назвать первой, второй и третьей премиями или первым, вторым и третьим местами. Если есть возможность всем успешно прошедшим олимпиаду вручить премии, то тогда естественно поощрения назвать премиями. Причем в качестве премий лучше всего давать математические книги. Обычно в школе на одну премию дают одну книгу. На разные премии вручаются разные книги. На каждой книге делаются соответствующая надпись, подпись директора школы и председателя оргкомитета, на подписях ставится гербовая печать школы.
Если школа не имеет материальных возможностей для приобретения премий, то итоги олимпиады можно подвести, определив успехи каждого участника как первое, второе и третье места на олимпиаде. Тогда участники получают грамоты с соответствующей записью. Грамоты целесообразно вручать и при награждении книгами.
Средства для премирования победителей и других мероприятий по проведению олимпиады выделяются из фондов школы, общественных организаций школы, от шефских организаций и из других источников.
Олимпиада проводится в торжественной обстановке. Для проведения школьной олимпиады в больших школах целесообразно выделить 2-3 дня. В первый день провести олимпиаду V - VII классов, во второй- VIII - IX и в третий - X - XI классов. В небольших школах можно провести олимпиаду в 1-2 дня. В первый день провести олимпиаду, например, для V - VIII классов, а во второй - для IX - XI классов.
В младших и средних классах школы целесообразно подготовить к олимпиаде выставку математического творчества учащихся. Для этого в начале учебного года все учителя математики, совет дружины и комитет комсомола школы делают соответствующие объявления в каждом классе. В период непосредственной подготовки к олимпиаде вывешиваются призывы и рекомендации о подготовке к выставке математического творчества учащихся. Во многих школах на выставку поступают пособия, изготовленные учащимися в период от предыдущей олимпиады до олимпиады этого года. На выставке могут быть модели различных фигур, изготовленные учащимися для иллюстрации математических понятий, теорем, формул, изучаемых в курсе математики, модели, раскрывающие смысл той или иной задачи и принцип ее решения. Могут быть представлены и математические работы учащихся: решения задач, различные доклады на математические темы, наиболее интересные задачи, составленные самими учащимися, и т. п. материалы. Все материалы, представляемые на выставку, должны быть в возможно более изящном оформлении и иметь определенное математическое содержание, математический смысл. Математическое содержание может быть различным, в более старших классах оно более глубоко. В выставке могут участвовать учащиеся всех классов.
Итоги участия школьников в выставке оцениваются жюри олимпиады. Победители награждаются призами или грамотами и отмечаются в приказе директора школы. По окончании олимпиады материалы выставки будут прекрасным пополнением кабинетов математики школы.
Олимпиада в пятых классах является первым опытом участия детей в подобного рода соревнованиях. Поэтому целесообразно выделить подготовительные мероприятия по пятым классам отдельно. Детям будет легче в них разобраться, понять призывы и найти нужные тренировочные задачи. В более занимательной и красочной форме вывешиваются объявление об олимпиаде и призыв к учащимся пятых классов принять участие в олимпиаде. Здесь же советы о том, как готовиться к олимпиаде. Выпускается отдельный бюллетень подготовительных задач. Подготовительные задачи можно взять из книг [1], [2], [9], [10], [18], [21], [25], [27], [29]. Все эти материалы вывешиваются в школе на видном месте, вблизи классных комнат учащихся пятых классов, отдельно от материалов для других классов.
Конкурс по решению задач . Соревнования нужно организовать так и подобрать такие задачи, чтобы олимпиада вызвала у детей интерес и желание еще участвовать в подобного рода соревнованиях. Поэтому задачи для V класса целесообразно подбирать по тематике более близкие к программному материалу, к тематике тех задач, которые дети решали в течение учебного года в классе. Но в задачах должен быть и элемент занимательности, новизны, оригинальности и своеобразия.
На соревнованиях создается непринужденная обстановка, при которой дети чувствуют товарищеское понимание и внимательное отношение со стороны членов жюри. При выполнении заданий от учащихся нецелесообразно требовать столь же безукоризненного оформления решений задач, как на обычной контрольной работе. Детям сообщается, что жюри оценивает и точность решения, и красоту рисунков, и последовательность записей решения, преобразований, но главное в выполнении работы на олимпиаде ? это мысль ученика, правильное решение, рациональные преобразования. Надо искать в решении оригинальные, необычные математические рассуждения, зерна собственной математической мысли ученика. Они ценнее всяких красивых оформлений.
Все участники олимпиады пятых классов располагаются в одной классной комнате. Каждый ученик сидит один за столом или партой. В случае большого количества участников может быть выделено для пятых классов 2?3 классные комнаты. На комнатах написано, олимпиада какого класса в ней проводится. Для большей организованности и торжественности перед началом олимпиады ее участники строятся на линейку. После приветствия директора школы участники расходятся по своим классным комнатам.
Оргкомитет заранее доводит до сведения участников олимпиады, какие принадлежности они должны принести с собой, а какие будут подготовлены организаторами олимпиады (бумага, карандаши, линейки, циркули).
Условия задач выписываются на доске до прихода в класс участников олимпиады. На выполнение задания отводится 1,5-2 урока, с тем, чтобы дети не спешили, выполняли задания спокойно.
В классе при выполнении работы участниками олимпиады находятся члены жюри по этому классу. По истечении времени, отведенного на выполнение работы, члены жюри собирают работы участников и сразу же приступают к их проверке. В это время в зале школы для участников олимпиады проводится небольшой (на 30-40 мин) концерт самодеятельности или другое аналогичное мероприятие, желательно с математическим содержанием.
После проверки работ участников олимпиады пятых классов в торжественной обстановке, в присутствии руководства школы, учителей математики, классных руководителей и членов жюри объявляются итоги олимпиады и вручаются награды победителям.
Каждую работу проверяют как минимум два члена жюри: учитель, ученик-старшеклассник и возможно один из учителей математики старших классов.
Примерные варианты задач для олимпиады 5 классов
1. В трехзначном числе зачеркнули цифру сотен, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили вновь исходное трехзначное число. Какое это число?
Решение. Пусть xyz = 100x+ 10y + z - данное число. По условию 7(10y + z) = 100x+ 10y + z. Отсюда
100x = 6(10y + z) и 10y + z = 100/6 x
Следовательно, 100/6 x - двузначное число, причем, x - цифра. Ясно, что x < 6, иначе число будет не двузначное. 100x делится нацело на 6 только при x = 3. Итак, x = 3, 10y + z =50, а искомое число 350.
Ответ: 350
2. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей 28/297 и 35/396 получаются целые числа.
Решение. Поделим натуральное число n на данные дроби: n : 28/297 = 297n :28; n : 35/396 = 396n : 35. Нужно, чтобы при подстановке n в обе дроби получались целые числа. Наименьшее n, удовлетворяющее данному условию, n = 4* 5 *7 = 140. Это наименьшее общее кратное чисел 28 и 35.
Ответ: 140
3. Даны 2000 произвольных натуральных чисел и известно, что произведение всех этих чисел нечетно. Какой будет их сумма: четной или нечетной?
Анализ. Обозначим любое четное число буквой ч , а нечетное - буквой н и составим <таблицу умножения> для двух чисел таблицу умножения:
ч * ч =ч ; ч * н =ч ; н * н = н
и для трех чисел:
ч * ч * ч =ч ; ч * ч * н =ч ; н * н * н = н .
Становится ясно, что если в произведении хоть одно число - четное, то все произведение будет четным.
Решение. Так как по условию произведение 2000 чисел нечетно, то все они - нечетные. А сумма 2000 нечетных чисел будет, очевидно, четной.
Ответ: четной
4. Запиши число 100 девятью различными цифрами, соединенными знаками действий.
Решение. 1+2+3+4+5+6+7+8*9
Многие учащиеся шестых классов уже принимали участие в олимпиадах, но некоторые будут участвовать впервые. Пятиклассники способны лучше разобраться в задачах и советах, которые им даются в подготовительных материалах. Они способны сами выполнять тренировочные упражнения, которые даются в бюллетенях подготовительных задач, в стенгазетах, в книгах, рекомендованных для подготовки к олимпиаде. Поэтому в бюллетенях можно указывать книги, из которых надо брать учащимся задачи для подготовки к олимпиаде, но при этом целесообразно указывать номера этих задач, так как сами учащиеся еще недостаточно опытны и не сумеют выбрать нужные для тренировки задачи.
Следует иметь в виду, что шестиклассники вообще еще нуждаются в серьезной помощи при подготовке к олимпиаде. Кружковцы такую помощь получают на занятиях математического кружка, а для тех, кто не посещает кружок, но желает участвовать в олимпиаде, надо организовать консультации членов оргкомитета, в основном учителей или специально подготовленных старшеклассников. На такие консультации надо привлекать как можно больше учащихся. Консультацию лучше проводить в виде непринужденной беседы с решением интересных задач и вообще задач тренировочного характера. Решение задач полезно сочетать с интересными короткими рассказами о математике и математиках. Потом можно порекомендовать пришедшим на консультацию порешать подготовительные задачи, напечатанные в бюллетене подготовительных задач к олимпиаде, и некоторые задачи из книг.
Привлечение к таким консультациям старшеклассников служит весьма эффективным средством профориентационной работы. Это поможет учащимся конкретно познакомиться с педагогической профессией, увидеть привлекательность и многогранность педагогической профессии и познакомить их с трудностями, которые встречаются учителю в практической деятельности. И вполне возможно, что некоторые из таких учащихся впоследствии выберут педагогическую профессию и пойдут учиться, на физико-математические факультеты университетов, а в настоящее время это имеет большое народнохозяйственное значение.
Для подготовки к олимпиаде шестиклассникам можно порекомендовать порешать задачи из пособий [5], [7], [11], [18], [19], [20], [21]. Причем целесообразно в этих пособиях выделить некоторые задачи или группы задач. Для бюллетеней материал можно брать из этих же пособий и из дидактического материала для VI класса. Характер переработки задач из дидактического материала виден на примере олимпиадных задач данного сборника.
Конкурс по решению задач . Так как олимпиада шестых классов проводится в один день с олимпиадой V - VII классов, то для проведения соревнований из общего жюри выделяется группа для проведения соревнований в шестых классах. Эта группа готовит задачи, проводит соревнования, проверяет и оценивает работы, вносит рекомендации для награждения победителей олимпиады пятых классов.
Вся организация соревнований в шестых классах аналогична организации соревнований учащихся пятых классов.
Примерные задания для проведения олимпиады 6 классов .
1. От города А до города В поезд шел 16 ч. Обратный путь этот поезд прошел со скоростью на 20 км в час большей и поэтому прошел весь путь на 4 ч быстрее. С какой скоростью шел поезд от А до В и чему равно расстояние от А до В?
2. Некоторое шестизначное натуральное число начинается цифрой 7. Отбросив эту цифру слева и приписав ее справа, получим число в 5 раз меньшее первоначального. Найти первоначальное число.
Решение. Запишем первоначальное число в виде 7ХХХХХ, где крестиками обозначены неизвестные цифры. По условию задачи 7ХХХХХ = 5 * ХХХХХ7. Так как 5 * 7 = 35, то искомое число оканчивается на 5 и имеет вид: 7ХХХХ5. По условию 7ХХХХ5 = 5 * ХХХХ57 и, умножая 57 на 5, получаем предпоследнюю цифру 8 первоначального числа, причем, 7ХХХ85 = 5 * ХХХ857. Продолжая этот процесс, найдем все число 714285.
Ответ: 714285
3. Мужичок привез продавать на рынок молотки, топоры и кувалды. Пройдя по рынку, он решил увеличить запланированные им цены, добавив по одному нулю, но не в концы, а в середины чисел, превратив их таким образом из двузначных в трехзначные. В результате цена за молоток увеличилась в 6 раз, за топор - в 7 раз, а за кувалду - в 9 раз. Найти новые цены молотка, топора и кувалды.
Решение. Обозначим ab = 10a +b первоначальную стоимость молотка. После увеличения цены он стал стоить a0b = 100a +b, причем, 6(10a +b)= 100a +b или 40a =5b, где a и b - цифры. Подбором находим а = 1,
b = 8. То есть, молоток стал стоить 108 руб. Аналогично, 7(10a +b) = 100a + b, 30a = 6b, a =1, b =5.
Топор стал стоить 105 рублей. И далее: 9(10a +b) = 100a + b, 10a = 8 b, a = 4, b = 5. Новая цена кувалды - 405 рублей.
Ответ: 108 руб., 105 руб., 405 руб.
Олимпиады седьмых классов отличаются от олимпиад шестых классов в основном своим содержанием. В седьмых классах начинается систематическое изучение курсов алгебры и геометрии. Но за полгода перед зимней олимпиадой учащиеся еще незначительно продвинутся в этих дисциплинах вперед. Поэтому при проведении зимней олимпиады в значительной степени приходится опираться на знания, полученные учащимися в предшествующий период обучения, и на материалы кружковых занятий.
При подготовке к олимпиаде можно использовать пособия: [4], [6], [7], [9], [16], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [30],
Примерные задания для проведения олимпиады 7 классов .
1. Доказать, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.
Доказательство. Так как по условию количество цифр в числе не изменяется, а увеличиться оно должно в 5 раз, то натуральное число, о котором говорится в задаче, должно начинаться с 1. В любом другом случае произведение данного числа на 5 содержит на одну цифру больше, чем само число. При перенесении первой цифры в конец получается число, оканчивающееся на 1, а оно не может делиться на 5. Утверждение доказано.
2. У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?
Решение. Если сложить вес трех поросят и двух ягнят с весом двух поросят и трех ягнят, то получим вес пяти поросят и пяти ягнят, равный 45 кг. Значит, один поросенок и один ягненок весят 9 кг, а два поросенка и два ягненка весят 18 кг. Вычтя это из первого данного веса, получим вес поросенка, равный 4 кг. Тогда ягненок весит 5 кг.
В восьмых классах проводится зимняя олимпиада и конкурс команд по решению задач в конце учебного года. Причем если в седьмых классах на олимпиаде задачи геометрического содержания не предлагались, то в восьмых классах учащиеся накопили достаточные знания по геометрии и поэтому в содержание соревнований целесообразно включать и задачи с геометрическим содержанием.
В восьмых классах появились значительно большие возможности для геометрического моделирования. Поэтому необходимо привлечь учащихся к более активному участию в подготовке к выставке математического творчества учащихся, для чего надо проводить активную работу с учащимися по изготовлению моделей по всем изучаемым вопросам курса геометрии. Для этого целесообразно провести хотя бы несколько занятий математического кружка по моделированию, после этого учащиеся и сами будут хорошо готовить модели. Надо будет только поддерживать их инициативу, а представление моделей на выставку-конкурс является для учащихся хорошим стимулом к активной работе по моделированию. В моделировании могут участвовать все учащиеся, в том числе и не очень сильные по математике. Все могут получить поощрение за хорошие модели. Наряду с геометрическими моделями на выставку могут быть представлены и другие материалы.
Оргкомитет по восьмым классам оформляет бюллетень тренировочных заданий, конкурсы по решению задач в стенной печати, бюллетени с рекомендациями о том, как готовиться к олимпиаде, проводит другие подготовительные мероприятия по всем седьмым классам школы и в каждом отдельном классе. Самое непосредственное участие во всей этой работе принимают все учителя математики, работающие в восьмых классах.
При подготовке к олимпиаде можно использовать пособия: [5], [6], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [15], [16], [18], [22], [23], [24], [31].
Примерные задания для проведения олимпиады 8 классов .
1. Доказать, что для любых действительных a , b , c хотя бы одно из уравнений aх 2 +2 bx + c = 0, bх 2 +2 cx + a = 0 или cх 2 +2 ax + b = 0 имеет хотя бы один действительный корень.
Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что дискриминант хотя бы одного из трех квадратных трехчленов - неотрицателен.
Если хотя бы одно из чисел a , b или c равно нулю, утверждение очевидно. Найдем дискриминанты и докажем, что хотя бы одно из чисел 4 b2 - 4 ac , 4 a2 - 4 bc или 4 c2 - 4 ab , больше или равно нулю. Предположим противное, что все эти числа меньше нуля, т.е. 4 b2- 4 ac < 0, 4 a2- 4 bc < 0, 4 c2 - 4 ab < 0. Разделим все эти неравенства на 2 и сложим. Тогда получим: ( a -b )2 + ( a -c )2 +( b -c )2 < 0, а это невозможно. Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что все дискриминанты меньше нуля, неверно. Следовательно, хотя бы один из них не равен нулю, а соответствующее уравнение будет иметь действительные корни, что и требовалось доказать.
В девятых классах проводится школьная олимпиада зимой. И можно провести в конце учебного года либо математическую викторину, либо КВН.
Вся подготовительная работа перед проведением олимпиады проводится по общему плану. При подготовке к олимпиаде в старших классах больше внимания уделяется тренировочным задачам. Поэтому целесообразно организовать конкурс по решению задач, публикуемых в стенной печати.
Содержание соревнований определяется программным материалом курса математики IX класса и содержанием кружковых занятий с учащимися. Так же как и учащиеся других классов, учащиеся девятых классов привлекаются к активному участию в подготовке пособий к выставке математического творчества учащихся. Этой работой учащихся руководят учителя математики, помогая учащимся советами в определении вида пособия, которое может изготовить каждый ученик, и в способе изготовления этого пособия.
При проведении подготовительной работы к олимпиаде девятых классов можно использовать пособия: [5], [6], [7], [8], [9], [12], [13], [15], [18], [31].
Примерные задания для проведения олимпиады 9 классов.
1 . Решить уравнение
( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12
Решение. Раскрывать скобки не имеет смысла, так как получится уравнение четвертой степени. В таких случаях применяется метод подстановки, ведь в скобках присутствует одинаковый блок х 2 + 6 х .
Обозначая х 2 + 6 х = у , получим уравнение ( у - 4)( у - 3) = 12, отсюда у ( у - 7) = 0, у 1 = 0, у 2 = 7. Делаем обратную замену х 2 + 6 х = у . Если х 2 + 6 х = 0, то х 1 = 0, х 2 = - 6. Если х 2 + 6 х = 7, то, решая квадратное уравнение х 2 + 6 х - 7 = 0, получим х 1 = 0, х 2 = ? 6, х 3 = -7, х 4 = 1 .
Ответ: х 1 = 0, х 2 = ? 6, х 3 = -7, х 4 = 1
2. В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Доказать, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок).
Доказательство. Предположим противное, что никакие 3 ученика не сделали ошибок поровну. Тогда 0 ошибок сделало не более 2 учеников, 1 ошибку - тоже не более двух, и т.д., 12 ошибок - не более двух учеников и 13 ошибок сделал один Саша Иванов. Всего учеников будет не более 2 ? 13 + 1 = 27, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно и существуют 3 ученика, сделавших одинаковое количество ошибок. Утверждение доказано.
В X - XI классах зимняя олимпиада проводится в те же сроки, что и в остальных классах. День соревнований можно выбрать другой, с тем, чтобы несколько сократить нагрузку на организаторов олимпиады. Вся подготовительная работа проводится также по единому для всех классов школы плану. Учащиеся X - XI классов активно участвуют и в выставке математического творчества. Основное отличие олимпиады в содержании соревнований. Школьные олимпиады в X - XI классах целесообразно проводить отдельно по каждой параллели классов. Задания для проведения соревнований в основном определяются изученным ко времени проведения олимпиады программным материалом по математике.
Учащиеся X-XI классов в значительной своей массе относятся более серьезно к занятиям математикой, а одиннадцатиклассники часто задумываются о своей будущей профессии, о роли математики как в будущей своей учебе, так и в трудовой деятельности, о ее роли в вопросе обеспечения возможности выбора того или иного жизненного пути, особенно о роли математики при поступлении в высшие учебные заведения и в техникумы. Поэтому олимпиада в старших классах характеризуется более серьезным содержанием, повышенной трудностью задач. Вместе с тем следует придерживаться общих принципов, предъявляемых к определению содержания соревнований. Они особенно важны при проведении школьных олимпиад. В конце учебного года в старших классах можно провести соревнования на более высоком математическом уровне, чем в остальных классах. По форме проведения соревнований и по принципам отбора содержания в старших классах в конце года соревнования проводятся так же, как и зимняя олимпиада. Но в целях единства подведения итогов внеклассной работы по математике за год и сравнения успехов каждого класса при подведении итогов целесообразно учитывать результаты как личного, так и командного первенства классов. Причем в команду включаются все учащиеся одного класса, принимающие участие в соревнованиях. Можно рекомендовать число очков команды считать равным числу очков всех ее участников или принять другую систему, при которой за первую премию начисляется 5 очков, за вторую - 3 очка, за третью - 2 очка, за поощрительную - 1 очко, а число очков команды равно числу очков за премии, полученные членами команды. Можно приплюсовать к этому некоторое число очков за массовость участия учащихся какого-либо класса в соревнованиях. В число очков команды включают и очки, полученные учащимися за успешное участие в выставке математического творчества учащихся.
Проведение школьной олимпиады и в конце года позволит учащимся лучше проверить свою подготовку по математике, что особенно интересует одиннадцатиклассников. Следует учитывать, что во многих школах в конце года учащиеся очень перегружены и нет возможности провести с ними олимпиаду. В таком случае задачи, приведенные в данном сборнике, могут быть или использованы на заключительных занятиях кружка, или предложены желающим для самостоятельного решения.
При определении содержания соревнований обычно руководствуются материалом, изученным школьниками ко времени проведения олимпиады, содержанием работы математических кружков, а также содержанием материала факультативных занятий по математике.
При подготовке к олимпиадам X - XI классов можно использовать пособия: [2], [3], [14], [17], [26], [27], [28], [31].
Примерные задания для проведения олимпиады десятых классов.
1. Натуральные числа А и В таковы, что 34А = 43В. Доказать, что число А +В составное.
Анализ. Составным называется число, имеющее хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого этого числа. Поэтому для доказательства достаточно найти такой делитель.
Доказательство. Прибавим к обеим частям данного равенства 43А. Получим 34А + 43А = 43В + 43А, 77А = 43(А + В). Отсюда следует, что число А +В делится на 7 и 11, то есть оно - составное.
2. Доказать, что хотя бы одно из чисел А +В, А -В или А ? В, где А, В - натуральные числа, составное.
Анализ. Если хотя бы одно из чисел А или В - четное, то А ? В - тоже четное и, значит, составное. Поэтому будем рассматривать только нечетные числа А и В. Все нечетные числа можно разделить на те, которые делятся на 3 (и в этом случае утверждение тоже очевидно) и которые не делятся на 3. Вот на этом множестве будем доказывать данное утверждение.
Доказательство. Если число А не делится на 3, то при делении на 3 может получаться либо остаток 1, либо остаток 2. То есть оно имеет вид либо А = 3к +1, либо А =3к +2. Точно так же В = 3р +1 или В = 3р +2. Поэтому в нашем случае возможны три комбинации:
1) А =3к +1, В = 3р +1; 2) А = 3к +2, В =3р +2; 3) А =3к +2, В = 3р +1. В 1) и 2) случаях А - В делится на 3, а в случае 3) А + В делится на 3. Итак, во всех случаях одно из чисел А + В, А - В или А ? В составное. Утверждение доказано.
2.6. В десятичной записи числа Х 1996 цифр: 1992 тройки и цифры 1, 9, 9, 2 в любом месте. Доказать, что Х не является полным квадратом.
Анализ. Подсчитаем сумму цифр данного числа: 1992 ? 3 + 1 +
+ 9 + 9 + 2 = 5997. Число 5997 делится на 3, но не делится на 9.
Доказательство. Число Х делится на 3, так как сумма его цифр делится на 3, но не делится на 9. А если бы Х было полным квадратом: Х = aа, то и а делилось бы на 3 , и поэтому Х делилось бы на 9. Но это не так. Следовательно, Х не является полным квадратом. Утверждение доказано.
2.7. Некоторое натуральное число А возведено в куб. Доказать, что по крайней мере одно из чисел А3 - А или А3 + А делится на 10.
Доказательство. Составим таблицу значений последней цифры числа А 3 в зависимости от последней цифры числа А.
А |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А 3 |
0 |
1 |
8 |
7 |
4 |
5 |
6 |
3 |
2 |
9 |
Отсюда видно, что в случаях А = 0, 1, 4, 5, 6, 9 А3 - А делится на 10, а в остальных случаях А3 + А делится на 10. Утверждение доказано.
2.8. Каких чисел больше среди первых 1000 натуральных чисел: тех, которые делятся на 3 или на 5 или тех, которые не делятся ни на 3, ни на 5 ?
Решение. Каждое третье число в натуральном ряду делится на 3, поэтому среди первой тысячи их будет 333. Аналогично, чисел, делящихся на 5, будет 1000 : 5 =200. Если сложить 333 с 200, то числа, делящиеся на 3 и 5 одновременно, будут посчитаны дважды, а их всего 66 штук . Итак, чисел, делящихся на 3 или на 5 333 + 200 - 66 = 467, а не делящихся ни на 3, ни на 5: 1000 - 467 = 533.
Ответ: Чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, больше
2.9. Сумма цифр натурального числа А равна сумме цифр числа 3А. Доказать, что число А делится на 3 и на 9.
Доказательство. Число 3А делится на 3, значит, на 3 делится и сумма его цифр. Но число А имеет такую же сумму цифр, поэтому А делится на 3. Но тогда 3А делится на 9 и сумма его цифр тоже делится на 9. Значит, сумма цифр числа А делится на 9, поэтому А делится на 9. Утверждение доказано.
2.10. На доске написаны числа 1, 2, 3, :, 1999. Сначала стирают все нечетные числа, из оставшихся стирают все числа, стоящие на нечетных местах, и т.д., пока не останется единственное число. Какое это число?
Решение. На первом этапе остается (1999-1):2 = 999 чисел, делящихся на 2, на втором (999 -1):2 = 499 делящихся на 4, затем 249 чисел, делящихся на 8 и т.д., пока не получится одно число, делящееся на 1024. Это и есть число 1024.
Ответ: 10243.2. Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%. Как изменилась цена этого товара?
Анализ. Напрашивающийся ответ, что цена не изменилась, неверен, так как проценты здесь берутся от разных количеств, причем во втором случае 10% берется от большего количества. Становится ясно, что товар в итоге подешевел.
Решение. Пусть х (руб) - первоначальная цена товара, тогда 1,1 х (руб) - цена после подорожания, а 0,9 ? 1,1 х = 0,99 х (руб) - окончательная цена. Мы видим, что товар подешевел на одну сотую часть своей стоимости, то есть на 1%.
Ответ: подешевел на 1%
3.3. Даны три квадрата. Площадь второго на 40% больше площади первого, а площадь третьего на 40% меньше площади второго. Какой из этих квадратов самый маленький?
Анализ. Второй квадрат не может быть самым маленьким, значит, надо сравнить площади первого и третьего.
Решение. Пусть х - площадь первого квадрата, тогда 1,4 х - площадь второго, а 0,6 ? 1,4 х = 0,84 х - площадь третьего. Отсюда видно, что самый маленький квадрат - третий.
Ответ: третий
3.4. Винни-Пух поправился за зиму на 20%, затем весной похудел на 25%, за лето - поправился на 20%, а осенью похудел на 10%. Похудел или поправился он за год, и на сколько процентов?
Анализ. Здесь каждый раз надо вычислять вес в частях от предыдущего веса, а затем сравнить первоначальный вес с окончательным.
Решение. Пусть х - вес медвежонка в начале года. Тогда за зиму его вес возрос до 1,2 х , весной стал 0,75 ? 1,2 х , летом ? 1,2 ? 0,75 ? 1,2 х и осенью - 0,9 ? 1,2 ? 0,75 ? 1,2 х = 0,975 х . Сравнивая с начальным весом х , заключаем, что Винни-Пух похудел на 0,028 часть своего веса, то есть на 2,8%.
Ответ: похудел на 2,8%
3.5. Белых грибов я набрал целый мешок, еле дотащил. Но тащил я главным образом воду, ведь в свежесобранных грибах 90% воды. А когда грибы подсохли, их вес уменьшился на 15 кг, потому что вода составляла теперь 60% их веса. Сколько килограммов грибов я принес из леса?
Анализ. Будем считать, что грибы состоят из воды и некоторого сухого вещества, причем при сушке вода испаряется, а сухое вещество остается неизменным. И, как всегда, будем проценты заменять частями.
Решение. Пусть х (кг) - первоначальная масса грибов. Воды в них будет 0,9 х (кг), а сухого вещества 0,1 х (кг). Далее ( х - 15) (кг) ? это вес грибов после сушки, причем, в сушеных грибах 0,6( х - 15) кг воды и 0,4( х - 15) кг сухого вещества. Так как масса сухого вещества до и после сушки не изменилась, составим уравнение: 0,4( х -15) = 0,1 х , решив которое, получим х = 20 (кг).
Ответ: 20 кг
3.6. К остановке подошел пустой автобус, и в него вошло менее 100 человек. Половина пассажиров сидела, половина стояла. На первой остановке вышли 4% пассажиров, остальные поехали дальше. Сколько человек поехало дальше?
Анализ. Обращает на себя внимание, что в задаче очень мало данных и на первый взгляд она не имеет определенного решения. Однако, вся информация скрывается в цифре 4%, ведь если мы предположим, что, например, в автобус вошло 20 пассажиров, то 4% от 20 человек ? это 0,8 человека.
Решение. Итак, если х ? число пассажиров, то 4% или 0,04 х должно быть целым числом. Это может быть только в случаях х = 25, 50 или 75, ведь пассажиров было меньше 100. А поскольку половина из них сидела, а половина стояла, то это число ? четное. Значит, в автобус вошло 50 человек, 4% от 50 ? это 2 человека, они сошли на первой остановке, остальные 48 поехали дальше.
Ответ: 48
4.1. На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17, 23, 24, 39 и 40 кг. Как отпустить со склада 100 кг гвоздей, не распаковывая ящиков?
Решение. 4 ? 17 + 2 ? 16 = 100.
Ответ: Взять 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг
4.2. Найти такое 10-значное число, в котором его первая цифра обозначает общее количество нулей в числе, вторая - общее количество единиц, третья - двоек и так далее до последней цифры, означающей количество девяток в числе.
Анализ. Можно заметить, что сумма цифр такого числа равна 10, поэтому большинство цифр должно быть равно 0. Можно начать подбор с числа 9000000000. В нем все цифры удовлетворяют условию, кроме последней. Исправим последний нуль на 1, тогда придется на второе место поставить 2, а на третье - 1. Продолжая подбор, найдем единственное число, удовлетворяющее условию задачи: 6210001000.
Ответ: 6210001000
4.3. Дано стихотворение:
Очень долго летели вороны,
Очень много там было ворон,
Много было птенцов там зеленых.
Жалко было воронам птенцов.
И его построчный перевод (строка соответствует строке, но порядок слов в строке не соблюдается) на псевдокитайский язык:
Инь янь сунь мынь,
Сунь янь бынь лянь чень,
Лянь бынь чень пинь линь,
Линь сунь чень цинь.
Перевести на этот язык фразу: "Птенцы были очень зеленые".
Ответ: "Линь чень янь пинь"
4.5. Сказал Кащей Ивану-Царевичу: "Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься передо мною. Задумаю три цифры, а ты назовешь мне три числа x , y , z . Выслушаю я тебя и скажу, чему равно выражение ax + by + cz . Тогда угадай, какие цифры a , b , c я задумал. Не угадаешь - голова с плеч!". Опечалился Иван-Царевич, пошел думу думать. Как ему помочь?
Решение. Следует выбрать х = 100, у = 10, z = 1. Так как a , b , c - цифры, то сумма ax + by + cz совпадает с трехзначным числом abc, записанным этими цифрами, и тайна Кащея раскроется.
4.6. У Змея Горыныча 1000 голов. Сказочный богатырь может одним ударом отрубить 1, 17, 21 или 33 головы, но при этом у Змея вырастет соответственно 10, 14, 0 или 48 голов. Сможет ли богатырь победить Змея?
Анализ. Постановка задачи такова, что либо надо найти вариант, при котором богатырь последним ударом отрубает 21 голову и побеждает Змея, либо доказать, что это невозможно.
Решение. Заметим, что при каждом ударе богатыря количество голов изменяется на величину, кратную трем: 10 - 1 = 9; 17 - 14 = 3; 21 - 0 = 21; 48 - 33 = 15. А поскольку 1000 на 3 не делится, то богатырь не сможет победить Змея.
Ответ: не сможет
4.7. В клетках квадрата 3 на 3 расставлены числа от 1 до 9. Затем вычислили 4 суммы чисел, стоящих в квадратах 2 на 2 и сумму полученных четырех чисел. Какое наибольшее число может при этом получиться?
Решение. Обозначим цифры в таблице следующим образом:
А 1 |
А 2 |
А 3 |
А 4 |
А 5 |
А 6 |
А 7 |
А 8 |
А 9 |
Сумма чисел, составленная по условию задачи, будет равна:
S = А 1 + А 3 + А 7 + А 9 + 2А 2 + 2А 4 + 2А 6 + 2А 8 + 4А 5 .
Чтобы она была максимальна, положим А 5 = 9; А 2 , А 4 , А 6 , А 8 = 8, 7, 6, 5 ? в любом порядке; остальные - 4, 3, 2, 1. Наибольшее число, которое при этом получится: 1 + 2 + 3 + 4 + 2(5 + 6 + 7 + 8) + 4 ? 9 = 98.
Ответ: 98
4.8 . Коллекция марок состоит из трех альбомов. В первом альбоме содержится две десятых всех марок, во втором альбоме - несколько седьмых, а в третьем альбоме 303 марки. Сколько марок в коллекции?
Решение. Пусть х - количество марок в коллекции. По условию причем, х - целое. Подбираем а = 1, 2, 3, 4, 5. При а = 5 х - целое и равно 3535.
Ответ: 3535 марок
4.9. Три крестьянина Петр, Борис и Андрей и их жены Екатерина, Мария и Валентина отправились в магазин. Каждый из этих шести лиц купил столько вещей, сколько рублей заплатил за каждую вещь. Петр купил на 23 вещи больше, чем Мария, а Борис - на 11 вещей больше, чем Екатерина. Известно, кроме того, что каждый муж истратил на 63 рубля больше, чем его жена. Определить имя жены каждого крестьянина.
Анализ. Обозначая за х количество вещей, купленных Марией, ( х + 23) - Петром, у - Екатериной, ( у +11) - Борисом и т.д., мы пойдем по ложному пути, так как составить уравнения не сможем, не зная, какая женщина является женой данного мужчины. А перебор возможных вариантов на этом пути очень трудоемок, поэтому поступим по-другому.
Решение. Во-первых, заметим, что если кто-либо из этих людей купил х вещей, то денег на это потратил х ? х = х 2 рублей. Пусть некоторый муж купил х вещей, а его жена - у вещей. Тогда он затратил х 2 рублей, а она - y2 рублей, причем, х 2- y 2 = 63 или ( х -у )( х +у ) = 63. Так как числа х и у - натуральные, то возможны 3 случая:
х |
8 |
12 |
32 |
у |
1 |
9 |
31 |
Используя разности 23 и 11, устанавливаем, что 12 вещей купил Борис, 1 вещь - Екатерина, 32 - Петр, 9 - Мария. Остается, что 8 вещей купил Андрей, а 31 - Валентина. Итак, супружеские пары: Андрей - Екатерина, Борис - Мария, Петр - Валентина.