СЕМИОТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ
В.Ф. Пуркина - г. Горно-Алтайск

Математическое знание формируется, получает свое выражение и передается с помощью определенных знаковых систем. Знаки являются средством фиксации элементов структуры математических понятий и их отношений. Эта структура отражается в структуре соответствующей знаковой системы, закрепляясь в ней в относительно устойчивой форме. Однако, знаки служат не только средством фиксации математического знания, но и являются средством его добывания и развития (Р. Том, Д. Пойа, А. Фуше, А.Я. Хинчин, И.Я. Виленкин и др.)

В познавательной деятельности переход от реальных объектов и явлений к идеальным математическим образам и понятиям происходит через процесс обозначения, который представляет собой перевод некоторого содержания с естественнонаучного языка на язык математики. При этом у познающего субъекта возникают значительные трудности семантического и синтаксического характера, т.к. переводимое содержание одновременно рассматривается с точки зрения двух или более языков, которые отличаются друг от друга не только синтаксисом, но и семантикой.

В процессе обучения детей математике эти трудности порождают формализм в знаниях учащихся.

Существующие педагогические исследования (П.Я. Гальперин, Д.Б. Эльконин, Н.Ф. Талызина, А.А. Столяр и др.) в основном затрагивают либо логическую, либо психологическую сторону этой проблемы. С нашей точки зрения, уже давно назрела необходимость в семиотическом подходе к ее исследованию.

Семиотика изучает общие закономерности функционирования любых знаковых систем. С ее точки зрения, существует три аспекта их изучения: синтактика, семантика и прагматика.

Синтактика изучает правила построения знаковых систем, рассматривает отношения между знаками в системе, абстрагируясь от отношения знаков к обозначаемому объекту и интерпретатору. Смысл знаков, с точки зрения синтактики, отождествляется с отношениями между знаками, их взаимозаменяемостью внутри знаковой системы, что является отражением внутрисистемной природы смысла. В этом случае структура знаковой системы (ее синтаксис) определяет смысл каждого знака. Такое понимание смысла связано с развитием метода формализации, который играет важную роль в математике.

Семантика изучает отношения знаков к обозначаемым объектам, она предполагает синтактику, но абстрагируется от прагматики, которая анализирует отношения интерпретатора к знакам. Смысл знаков, с точки зрения семантики, есть не что иное, как формы отражения реально мира: понятия, суждения и т.д.

Семиотический подход позволяет определить наиболее полную характеристику смысла знаков и знаковых систем, используемых в математике.

Покажем это на примере семиотического анализа таких знаковых систем школьной математики, как "арифметическое выражение" и "алгебраическое выражение".

Для построения арифметических и алгебраических выражений используются символы, которые можно разделить на три группы:

1. предметные символы - буквы или числа некоторого множества Х;
2. знаки арифметических операций: +, -, *, :;
3. вспомогательные символы: (, ) - левая и правая скобки.

Алгебраическое выражение представляет собой последовательность указанных выше символов, построенную по определенным правилам, которые формулируются при рекурсивном определении числовых выражений [1].

Для того, чтобы определить, с точки зрения синтактики, является ли данная последовательность знаков алгебраическим (арифметическим) выражением, необходимо проверить, образована ли эта последовательность в соответствии с правилами. Например: (3+5-) не является арифметическим выражением, так как знак операции, в соответствии с правилами построения числовых выражений, может находиться только между двумя другими знаками. Знаковая система 4:(2-2) является арифметическим выражением, с точки зрения синтактики, но не является таковым, с точки зрения семантики, так как нельзя указать денотат этой знаковой системы.

Анализ различных подходов к интерпретации понятия "алгебраическое выражение" позволяет выделить несколько аспектов семантики этой знаковой системы.

Символьная семантика - связана с отождествлением смысла алгебраического выражения с его записью. С точки зрения этой семантики выражения: 3-5+2 и 2+1-4+1 имеют разный смысл. В этой семантике два алгебраических выражения будут эквивалентны, если они полностью совпадают.

Функциональная семантика алгебраического выражения связана с рассмотрением их как некоторых функций с соответствующей областью определения и множеством значений.

Например, выражения а(в+с) и ав+ас будут эквивалентны в этой семантике, т.к. определяют одну и ту же функцию, но не будут эквивалентны с точки зрения символьной семантики.

Алгоритмическая семантика алгебраических выра-жений связана с осмыслением этих знаковых систем как описания некоторой алгоритмической процедуры. При таком подходе выражение можно рассматривать как запись программы вычислений. В этой семантике два выражения считаются эквивалентными, если их программы вычислений совпадают.

Например, выражения ав+ас и а(в+с) эквивалентны в функциональной семантике, но не эквивалентны в алгоритмической, так как программы вычислений различны.

Рассмотренные выше различные аспекты семантики понятия "алгебраическое выражение" широко используется в школьной математике при доказательстве тождеств, при выполнении тождественных преобразований, при выполнении заданий на порядок действий и т.д.

Поэтому их семиотический анализ позволяет избежать многих ошибок при отборе учебного материала, построении системы задач и упражнений и т.п.

Так, например, при изучении тождества а(в+с)=ав+ас правило необходимо сформулировать как в терминах левой части равенства, так и правой, т.к. они алгоритмически не эквивалентны. Иначе дети будут успешно выполнять задания по программе левой части тождества: 5*(4+6) и затрудняться при выполнении заданий по программе правой части тождества, например: 4*3+3*7.

Литература

1. Нивергельт Ю., Феррар Дж., Рейнгольд Э. Машинный подход к решению математических задач. - М.: Мир, 1977.
2. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. - М.: Сов. радио, 1979.
3. Ветров А.А. Семиотика и ее основные проблемы. - М.: Политиздат, 1968.
4. Пуркина В.Ф. Системно-генетический подход к обоснованию содержания начального математического образования. Автореф. дис. - М., 1981.